Teorema Nilai Rata-rata (Mean Value Theorem):

Teorema Nilai Rata-rata menyatakan bahwa untuk fungsi kontinu dan diferensiabel pada interval $[a, b]$, ada setidaknya satu bilangan $c \in (a, b)$ yang memenuhi:

$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Diberikan $f(x) = 2\sqrt{x}$ pada interval $[1, 9]$, kita akan mencari nilai $c$.

Langkah-langkah Penyelesaian:

1. Hitung nilai rata-rata perubahan fungsi di interval $[1, 9]$:

   $\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{f(9) - f(1)}{9 - 1}$

   Nilai $f(9)$ dan $f(1)$: $f(9) = 2\sqrt{9} = 6, \quad f(1) = 2\sqrt{1} = 2$

   Maka: $\frac{f(9) - f(1)}{9 - 1} = \frac{6 - 2}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

2. Cari turunan $f'(x)$:

   $f(x) = 2\sqrt{x} = 2x^{1/2}, \quad f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

3. Setarakan $f'(c)$ dengan nilai rata-rata:

   $f'(c) = \frac{1}{\sqrt{c}} = \frac{1}{2}$

   Cari nilai $c$: $\frac{1}{\sqrt{c}} = \frac{1}{2}$

   Kalikan silang: $\sqrt{c} = 2$

   Pangkatkan kedua sisi: $c = 4$

4. Verifikasi bahwa $c \in (1, 9)$: $c = 4 \quad \text{berada di dalam interval } (1, 9).$

Jawaban Akhir:

Bilangan yang dijamin oleh Teorema Nilai Rata-rata adalah $c = 4$.

---

Ingin penjelasan lebih lanjut atau contoh serupa?

Berikut 5 pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara menggunakan Teorema Nilai Rata-rata pada fungsi polinomial?
2. Apakah syarat keberlakuan Teorema Nilai Rata-rata?
3. Apa perbedaan Teorema Nilai Rata-rata dengan Teorema Rolle?
4. Bagaimana mengaplikasikan Teorema Nilai Rata-rata dalam fisika?
5. Bagaimana cara menyelesaikan soal yang tidak memenuhi syarat Teorema Nilai Rata-rata?

Tip: Pastikan fungsi yang digunakan memenuhi syarat kontinu dan diferensiabel di seluruh interval sebelum menggunakan teorema ini.