Diberikan lingkaran dengan jari-jari $r = 1$ satuan dan terdapat $n+1$ titik berbeda yang terletak di lingkaran tersebut. Kita diminta membuktikan bahwa terdapat setidaknya dua titik yang jaraknya paling jauh adalah $2 \sin \left( \frac{\pi}{n} \right)$.

Langkah-langkah Pembuktian:

1. Model Titik pada Lingkaran: Setiap titik pada lingkaran dapat dinyatakan dalam bentuk koordinat polar. Misalkan titik-titik tersebut diletakkan di sekitar lingkaran secara berurutan dengan jarak sudut yang seragam. Jika kita memiliki $n+1$ titik, dan lingkaran tersebut merupakan lingkaran satuan (jari-jari $1$), maka sudut antara dua titik berurutan akan memiliki ukuran: $\theta = \frac{2\pi}{n+1}$ dalam radian.

2. Jumlah Titik yang Diambil: Karena kita mengambil $n+1$ titik pada lingkaran, dan lingkaran tersebut memiliki simetri rotasional, terdapat dua titik yang jaraknya maksimum jika jarak sudutnya juga maksimum.

3. Jarak Maksimum antara Dua Titik: Jarak antara dua titik pada lingkaran satuan yang berjarak sudut $\theta$ dapat dihitung menggunakan rumus jarak pada lingkaran satuan, yaitu: $d = 2 \sin \left( \frac{\theta}{2} \right)$ Dalam hal ini, jarak antara dua titik yang jaraknya maksimum terjadi ketika sudut $\theta = \frac{2\pi}{n}$, karena distribusi titik-titik tersebut dalam $n+1$ bagian.

4. Konsekuensi Geometris: Karena jarak sudut antara dua titik maksimum adalah $\frac{2\pi}{n}$, maka jarak antara kedua titik ini adalah: $d_{\text{maks}} = 2 \sin \left( \frac{\pi}{n} \right)$ sehingga kita menemukan bahwa terdapat dua titik yang jaraknya maksimum adalah $2 \sin \left( \frac{\pi}{n} \right)$, yang menyelesaikan pembuktian.

Kesimpulan:

Kita telah membuktikan bahwa pada sebuah lingkaran dengan jari-jari 1 satuan, jika kita mengambil $n+1$ titik berbeda, maka ada setidaknya dua titik yang jaraknya paling jauh adalah $2 \sin \left( \frac{\pi}{n} \right)$.

Apakah Anda ingin rincian lebih lanjut atau ada pertanyaan?

Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait:

1. Bagaimana menentukan jarak antara dua titik pada lingkaran satuan dengan sudut sembarang?
2. Apa peran simetri rotasional dalam pembuktian ini?
3. Bagaimana jika lingkaran memiliki jari-jari selain 1? Apakah jarak maksimum berubah?
4. Apakah konsep ini dapat diperluas ke ruang dimensi yang lebih tinggi, misalnya pada bola (sphere)?
5. Bagaimana jika jumlah titik yang diambil lebih dari $n+1$? Apa yang terjadi dengan jarak maksimum?

Tip: Jarak antara dua titik pada lingkaran selalu bergantung pada besar sudut di antara titik-titik tersebut, dan pada lingkaran satuan, ini sangat mudah dihitung dengan fungsi sinus.