Selembar aluminium seluas 300 cm2 akan dibuat tabung tanpa tutup. Tentukan dimensi tabung agar didapatkan volume yang maksimal

Untuk menyelesaikan masalah ini, kita perlu menggunakan konsep optimasi dengan menggunakan turunan dalam kalkulus. Kita akan membuat sebuah tabung tanpa tutup dari selembar aluminium dengan luas 300 cm² dan mencari dimensi yang memberikan volume maksimum.

### Diberikan:
- Luas permukaan aluminium \( A = 300 \, \text{cm}^2 \)
- Tabung tanpa tutup memiliki dua bagian: dinding samping berbentuk silinder dan dasar berbentuk lingkaran.
- Kita mencari dimensi tabung (jari-jari \( r \) dan tinggi \( h \)) yang menghasilkan volume maksimum.

### Langkah-langkah:

1. **Luas permukaan tabung:**

   Luas permukaan dari tabung tanpa tutup terdiri dari:
   - Luas dinding samping: \( 2\pi r h \)
   - Luas dasar lingkaran: \( \pi r^2 \)
   
   Maka, total luas permukaan adalah:
   \[
   A = 2\pi r h + \pi r^2
   \]
   Diketahui \( A = 300 \, \text{cm}^2 \), sehingga persamaan luas permukaan menjadi:
   \[
   300 = 2\pi r h + \pi r^2
   \]
   Ini adalah persamaan yang menghubungkan jari-jari \( r \) dan tinggi \( h \).

2. **Volume tabung:**

   Volume tabung diberikan oleh:
   \[
   V = \pi r^2 h
   \]
   Tujuan kita adalah memaksimalkan volume \( V \).

3. **Eliminasi salah satu variabel:**

   Dari persamaan luas permukaan, kita bisa mengekspresikan \( h \) dalam bentuk \( r \). Dari persamaan \( 300 = 2\pi r h + \pi r^2 \), kita isolasi \( h \):
   \[
   300 = 2\pi r h + \pi r^2
   \]
   \[
   2\pi r h = 300 - \pi r^2
   \]
   \[
   h = \frac{300 - \pi r^2}{2\pi r}
   \]
   
   Sekarang kita substitusi nilai \( h \) ini ke dalam persamaan volume \( V \):
   \[
   V = \pi r^2 \left( \frac{300 - \pi r^2}{2\pi r} \right)
   \]
   \[
   V = \frac{r(300 - \pi r^2)}{2}
   \]
   Ini adalah fungsi volume dalam variabel \( r \), yang akan kita maksimalkan.

4. **Maksimalkan volume:**

   Untuk memaksimalkan volume, kita hitung turunan pertama dari \( V \) terhadap \( r \) dan mencari titik kritisnya:
   \[
   \frac{dV}{dr} = \frac{1}{2} \left( 300 - 3\pi r^2 \right)
   \]
   Setting turunan pertama sama dengan nol untuk menemukan nilai \( r \):
   \[
   300 - 3\pi r^2 = 0
   \]
   \[
   3\pi r^2 = 300
   \]
   \[
   r^2 = \frac{300}{3\pi} = \frac{100}{\pi}
   \]
   \[
   r = \sqrt{\frac{100}{\pi}} = \frac{10}{\sqrt{\pi}}
   \]

5. **Hitung \( h \):**

   Setelah mendapatkan \( r \), kita substitusi nilai \( r \) ke dalam persamaan \( h = \frac{300 - \pi r^2}{2\pi r} \):
   \[
   h = \frac{300 - \pi \left( \frac{100}{\pi} \right)}{2\pi \left( \frac{10}{\sqrt{\pi}} \right)}
   \]
   \[
   h = \frac{300 - 100}{2\pi \frac{10}{\sqrt{\pi}}}
   \]
   \[
   h = \frac{200}{\frac{20\sqrt{\pi}}{\pi}} = \frac{200}{20/\sqrt{\pi}} = 10 \sqrt{\pi}
   \]

### Jawaban Akhir:
- Jari-jari tabung \( r = \frac{10}{\sqrt{\pi}} \, \text{cm} \)
- Tinggi tabung \( h = 10 \sqrt{\pi} \, \text{cm} \)

Dimensi ini memberikan volume maksimum untuk tabung.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut mengenai salah satu langkah? Jika ya, bagian mana yang ingin Anda perdalam?

---

**Pertanyaan Terkait:**
1. Bagaimana cara menghitung luas permukaan untuk tabung dengan tutup?
2. Apa saja syarat dari turunan kedua untuk memastikan titik maksimum?
3. Bagaimana jika luas permukaannya lebih dari 300 cm², apakah volume maksimal akan bertambah?
4. Apa pengaruh bentuk tabung terhadap efisiensi material?
5. Bagaimana menghitung volume untuk benda lain, seperti kerucut atau bola?

**Tip:** Dalam optimasi, turunan kedua digunakan untuk memastikan apakah titik kritis memberikan maksimum atau minimum.

Selembar aluminium seluas 300 cm2 akan dibuat tabung tanpa tutup. Tentukan dimensi tabung agar didapatkan volume yang maksimal.

Discover how to optimize the volume of a cylinder without a lid using a sheet of aluminum with a surface area of 300 cm². This step-by-step solution involves applying calculus, including surface area and volume formulas, and solving using derivatives. Ideal for students in Grades 11-12 or those studying calculus.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation