La función de demanda para el fabricante de un producto es p= 969-56.9x al cuadrado donde es el precio por unidad cuando se demandan x unidades. Encuentre el ingreso máximo que obtendrá el fabricante. Introduzca únicamente su respuesta numérica usando hasta una cifra decimal redondeada.

El ingreso \( I \) que obtiene el fabricante es el producto de la cantidad demandada \( x \) por el precio por unidad \( p(x) \). Por lo tanto, la función de ingreso se expresa como:

\[
I(x) = x \cdot p(x)
\]

Sustituyendo la función de demanda \( p(x) = 969 - 56.9x^2 \) en la ecuación de ingreso:

\[
I(x) = x \cdot (969 - 56.9x^2) = 969x - 56.9x^3
\]

Ahora, para encontrar el ingreso máximo, debemos derivar la función de ingreso \( I(x) \) respecto de \( x \) y luego igualar a 0 para encontrar los puntos críticos.

\[
\frac{dI(x)}{dx} = 969 - 3 \cdot 56.9x^2 = 969 - 170.7x^2
\]

Igualamos la derivada a 0 para encontrar los valores de \( x \):

\[
969 - 170.7x^2 = 0
\]

\[
170.7x^2 = 969
\]

\[
x^2 = \frac{969}{170.7} \approx 5.68
\]

\[
x \approx \sqrt{5.68} \approx 2.38
\]

Ahora sustituimos este valor de \( x \) en la función de ingreso para encontrar el ingreso máximo:

\[
I(2.38) = 969(2.38) - 56.9(2.38)^3
\]

Calculando el valor:

\[
I(2.38) \approx 969(2.38) - 56.9(13.51) \approx 2307.22 - 768.42 \approx 1538.8
\]

El ingreso máximo que obtendrá el fabricante es aproximadamente **1538.8**.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

---

1. ¿Qué es la función de demanda y cómo se relaciona con el ingreso?
2. ¿Cómo afecta la derivada en la optimización de ingresos?
3. ¿Por qué es importante la segunda derivada para verificar máximos?
4. ¿Qué sucede si cambiamos los coeficientes en la ecuación de demanda?
5. ¿Cómo influye el precio en el ingreso total de una empresa?

**Tip:** Para maximizar o minimizar una función, usa siempre la primera derivada para encontrar los puntos críticos y la segunda para confirmar si es un máximo o mínimo.

La función de demanda para el fabricante de un producto es p = 969 - 56.9x^2, donde p es el precio por unidad cuando se demandan x unidades. Encuentre el ingreso máximo que obtendrá el fabricante.

Find the maximum revenue a manufacturer can achieve with a demand function p = 969 - 56.9x^2, using differentiation to identify critical points. Learn step-by-step how to derive and solve for the optimal value of x for maximum income, suitable for Grades 11-12.

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