Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp đường tròn (O, R), với AB = AC = a. Ta cần tìm giá trị của $a$ để tam giác ABC có diện tích lớn nhất.

Phân tích:

• Tam giác ABC cân tại A, nên góc $\angle ABC = \angle ACB$.
• Gọi $\theta = \angle BAC$. Diện tích của tam giác ABC là: $S = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin(\theta) = \frac{1}{2} a^2 \sin(\theta)$
• Tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính R, do đó ta có $BC$ là dây cung của đường tròn. Theo định lý hình học, ta có: $BC = 2R \sin(\frac{\theta}{2})$ và theo định lý cosine: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos(\theta)$ tức là: $BC^2 = 2a^2(1 - \cos(\theta))$ Suy ra: $BC = a \sqrt{2(1 - \cos(\theta))}$

Cực đại diện tích:

Để diện tích tam giác ABC lớn nhất, ta cần tối ưu hóa biểu thức diện tích $S = \frac{1}{2} a^2 \sin(\theta)$. Khi đó, ta tìm giá trị của $a$ sao cho diện tích này lớn nhất.

• Từ công thức hình học và áp dụng các phép tính vi phân có thể chứng minh rằng diện tích tam giác ABC đạt cực đại khi $AB = a = R$.

Kết luận: Tam giác ABC có diện tích lớn nhất khi $a = R$, nghĩa là $AB$ bằng với bán kính của đường tròn.

---

Bạn có muốn biết thêm chi tiết về quá trình tìm giá trị $a$ không?

Câu hỏi mở rộng:

1. Làm thế nào để xác định diện tích tam giác khi biết 3 cạnh?
2. Công thức để tính diện tích tam giác khi biết một góc và hai cạnh là gì?
3. Điều kiện nào để một tam giác nội tiếp có diện tích lớn nhất?
4. Khi nào một tam giác nội tiếp có thể có diện tích nhỏ nhất?
5. Liên hệ giữa bán kính đường tròn nội tiếp và tam giác cân là gì?

Mẹo:

Trong tam giác nội tiếp, diện tích đạt cực đại khi tam giác là tam giác đều.