Se a função \small f é dada por \small f\left(x\right)=4x^{3}-66x^{2}-312x+36, \small x\in\left[-4,15\right], então:

(1) A função \small f assume um mínimo absoluto \small f\left(13\right)=-6386, no ponto \small x=13;

(2) A função \small f assume um máximo absoluto \small 
f\left(-2\right)=364, no ponto \small x=-2.
As alternativas verdadeiras são:

Questão 1Resposta

a.
(2)

b.
(1)

Vamos analisar as afirmações com base na função dada: 

\[
f(x) = 4x^3 - 66x^2 - 312x + 36
\]
para \(x \in [-4, 15]\).

### Passos:
1. **Derivada da função:**
   Para encontrar os pontos críticos, precisamos calcular a derivada da função \(f(x)\):

   \[
   f'(x) = \frac{d}{dx} \left(4x^3 - 66x^2 - 312x + 36\right)
   \]
   \[
   f'(x) = 12x^2 - 132x - 312
   \]

2. **Encontrando os pontos críticos:**
   Os pontos críticos ocorrem quando \(f'(x) = 0\), então:

   \[
   12x^2 - 132x - 312 = 0
   \]

   Resolvendo essa equação quadrática para \(x\), temos:

   \[
   x = \frac{-(-132) \pm \sqrt{(-132)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-312)}}{2 \cdot 12}
   \]
   \[
   x = \frac{132 \pm \sqrt{17424 + 14976}}{24}
   \]
   \[
   x = \frac{132 \pm \sqrt{32400}}{24}
   \]
   \[
   x = \frac{132 \pm 180}{24}
   \]
   Temos duas soluções:
   \[
   x_1 = \frac{132 + 180}{24} = \frac{312}{24} = 13
   \]
   \[
   x_2 = \frac{132 - 180}{24} = \frac{-48}{24} = -2
   \]

3. **Verificação dos valores extremos:**
   Sabemos que \(x = 13\) e \(x = -2\) são pontos críticos. Vamos calcular os valores da função nesses pontos e nos extremos do intervalo \(x \in [-4, 15]\):

   - \(f(13) = 4(13)^3 - 66(13)^2 - 312(13) + 36 = -6386\)
   - \(f(-2) = 4(-2)^3 - 66(-2)^2 - 312(-2) + 36 = 364\)
   - \(f(-4) = 4(-4)^3 - 66(-4)^2 - 312(-4) + 36 = 740\)
   - \(f(15) = 4(15)^3 - 66(15)^2 - 312(15) + 36 = -6384\)

   ### Conclusão:
   - O valor mínimo da função ocorre em \(x = 13\), com \(f(13) = -6386\).
   - O valor máximo da função ocorre em \(x = -2\), com \(f(-2) = 364\).

Portanto, **ambas as afirmações são verdadeiras**, e a resposta correta é **letra (b)**.

---

Quer detalhes ou alguma explicação adicional? Aqui estão algumas questões relacionadas para expandir sua compreensão:

1. Como encontrar a segunda derivada para verificar concavidade nos pontos críticos?
2. Como resolver uma equação cúbica graficamente?
3. Qual a diferença entre máximos relativos e absolutos?
4. O que significa uma função ser crescente ou decrescente em um intervalo?
5. Como analisar o comportamento de uma função nos limites de um intervalo fechado?

**Dica:** Sempre que você encontrar os pontos críticos, não se esqueça de avaliar também os extremos do intervalo para identificar os valores máximos e mínimos absolutos.

Se a função f é dada por f(x)=4x^{3}-66x^{2}-312x+36, x∈[-4,15], então: (1) A função f assume um mínimo absoluto f(13)=-6386, no ponto x=13; (2) A função f assume um máximo absoluto f(-2)=364, no ponto x=-2. As alternativas verdadeiras são: a. (2) b. (1)

Learn how to find the absolute maximum and minimum of the cubic function f(x) = 4x^3 - 66x^2 - 312x + 36 over the interval [-4, 15]. This solution includes calculating derivatives, solving quadratic equations, and analyzing critical points for Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation