Vamos analisar as afirmações com base na função dada:

$f(x) = 4x^3 - 66x^2 - 312x + 36$ para $x \in [-4, 15]$.

Passos:

1. Derivada da função: Para encontrar os pontos críticos, precisamos calcular a derivada da função $f(x)$:

   $f'(x) = \frac{d}{dx} \left(4x^3 - 66x^2 - 312x + 36\right)$ $f'(x) = 12x^2 - 132x - 312$

2. Encontrando os pontos críticos: Os pontos críticos ocorrem quando $f'(x) = 0$, então:

   $12x^2 - 132x - 312 = 0$

   Resolvendo essa equação quadrática para $x$, temos:

   $x = \frac{-(-132) \pm \sqrt{(-132)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-312)}}{2 \cdot 12}$ $x = \frac{132 \pm \sqrt{17424 + 14976}}{24}$ $x = \frac{132 \pm \sqrt{32400}}{24}$ $x = \frac{132 \pm 180}{24}$ Temos duas soluções: $x_1 = \frac{132 + 180}{24} = \frac{312}{24} = 13$ $x_2 = \frac{132 - 180}{24} = \frac{-48}{24} = -2$

3. Verificação dos valores extremos: Sabemos que $x = 13$ e $x = -2$ são pontos críticos. Vamos calcular os valores da função nesses pontos e nos extremos do intervalo $x \in [-4, 15]$:

   • $f(13) = 4(13)^3 - 66(13)^2 - 312(13) + 36 = -6386$
   • $f(-2) = 4(-2)^3 - 66(-2)^2 - 312(-2) + 36 = 364$
   • $f(-4) = 4(-4)^3 - 66(-4)^2 - 312(-4) + 36 = 740$
   • $f(15) = 4(15)^3 - 66(15)^2 - 312(15) + 36 = -6384$

   Conclusão:

   • O valor mínimo da função ocorre em $x = 13$, com $f(13) = -6386$.
   • O valor máximo da função ocorre em $x = -2$, com $f(-2) = 364$.

Portanto, ambas as afirmações são verdadeiras, e a resposta correta é letra (b).

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Quer detalhes ou alguma explicação adicional? Aqui estão algumas questões relacionadas para expandir sua compreensão:

1. Como encontrar a segunda derivada para verificar concavidade nos pontos críticos?
2. Como resolver uma equação cúbica graficamente?
3. Qual a diferença entre máximos relativos e absolutos?
4. O que significa uma função ser crescente ou decrescente em um intervalo?
5. Como analisar o comportamento de uma função nos limites de um intervalo fechado?

Dica: Sempre que você encontrar os pontos críticos, não se esqueça de avaliar também os extremos do intervalo para identificar os valores máximos e mínimos absolutos.