Verilen denkleme göre, $a + b = 23$ ve $a$ ile $b$ birer doğal sayıdır.

Çarpım $a \cdot b$ ifadesinin en büyük değerini bulmak için $a$ ve $b$'yi seçerken toplamları 23 olan sayılar arasında çarpımları en büyük olanları seçmemiz gerekiyor.

İki sayının çarpımının maksimum olduğu durum, bu sayıların birbirine olabildiğince yakın olduğu durumdur. Bu nedenle, $a$ ve $b$'yi olabildiğince yakın seçmeliyiz.

1. Adım: $a$ ve $b$'yi olabildiğince yakın seçelim.

Toplamları 23 olan iki sayıyı eşit şekilde dağıtmaya çalışalım: $a = 11 \quad \text{ve} \quad b = 12$

2. Adım: Çarpımı hesaplayalım.

$a \cdot b = 11 \cdot 12 = 132$

Sonuç:

$a \cdot b$'nin alabileceği en büyük değer 132'dir.

Eğer daha fazla ayrıntıya ihtiyacınız varsa, size yardımcı olabilirim. İşte konuyla ilgili birkaç ek soru:

1. Neden iki sayının çarpımı birbirine yakın olduğunda maksimum olur?
2. Eğer $a + b = 24$ olsaydı, $a \cdot b$'nin maksimum değeri ne olurdu?
3. $a + b = 30$ olsaydı, maksimum çarpım nasıl bulunurdu?
4. Doğal sayılar yerine tam sayılar verilseydi, çözüm nasıl değişirdi?
5. İki sayının çarpımını maksimize etmenin geometrik anlamı nedir?

İpucu: İki sayının çarpımı, aritmetik ortalamalarına en yakın olduklarında maksimuma ulaşır.