Math Problem Statement

Q15 Soient A =  1 0 1 2 α 1  et B =   1 0 2 1 1 1  . Si on note la matrice A × B par (cij )i,j , alors A. c11 = 2, B. c11 = 1, C. c22 = 1 + α, D. c22 = 2, E. c22 = 1.

Solution

Pour résoudre ce problème, nous devons effectuer le produit matriciel A×BA \times B et déterminer les valeurs des éléments cijc_{ij} de la matrice résultante.

Les matrices données sont les suivantes :

1 & 0 & 1 \\ 2 & \alpha & 1 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Le produit de ces matrices est défini comme suit : si $$C = A \times B$$, alors $$c_{ij}$$ (élément de la matrice $$C$$) est calculé en prenant le produit scalaire de la $$i$$-ème ligne de $$A$$ et de la $$j$$-ème colonne de $$B$$. ### Calcul du produit $$A \times B$$: #### Première ligne, première colonne ($$c_{11}$$) : $$c_{11} = (1 \times 1) + (0 \times 2) + (1 \times 1) = 1 + 0 + 1 = 2$$ Donc, $$c_{11} = 2$$. #### Première ligne, deuxième colonne ($$c_{12}$$) : $$c_{12} = (1 \times 0) + (0 \times 1) + (1 \times 1) = 0 + 0 + 1 = 1$$ Donc, $$c_{12} = 1$$. #### Deuxième ligne, première colonne ($$c_{21}$$) : $$c_{21} = (2 \times 1) + (\alpha \times 2) + (1 \times 1) = 2 + 2\alpha + 1 = 3 + 2\alpha$$ Donc, $$c_{21} = 3 + 2\alpha$$. #### Deuxième ligne, deuxième colonne ($$c_{22}$$) : $$c_{22} = (2 \times 0) + (\alpha \times 1) + (1 \times 1) = 0 + \alpha + 1 = \alpha + 1$$ Donc, $$c_{22} = \alpha + 1$$. ### Résumé du produit $$A \times B$$ : $$A \times B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 + 2\alpha & \alpha + 1 \end{pmatrix}$$ ### Vérification des options : - $$A. \, c_{11} = 2$$ : Cela est correct car $$c_{11} = 2$$. - $$B. \, c_{11} = 1$$ : Incorrect, car $$c_{11} = 2$$. - $$C. \, c_{22} = 1 + \alpha$$ : Correct, car $$c_{22} = \alpha + 1$$, ce qui est équivalent à $$1 + \alpha$$. - $$D. \, c_{22} = 2$$ : Incorrect, car $$c_{22} = \alpha + 1$$. - $$E. \, c_{22} = 1$$ : Incorrect, car $$c_{22} = \alpha + 1$$. ### Conclusion : Les bonnes réponses sont donc **A** et **C**. Si vous avez besoin de plus de détails ou d'éclaircissements, n'hésitez pas à demander ! Voici quelques questions complémentaires : 1. Comment déterminer le produit de deux matrices carrées ? 2. Quelle est la condition pour qu'un produit de matrices soit défini ? 3. Comment calculer le déterminant d'une matrice $$2 \times 2$$ ? 4. Quelles sont les propriétés des matrices diagonales dans un produit matriciel ? 5. Comment interpréter les résultats d'un produit matriciel dans un contexte géométrique ? **Conseil :** Lorsque vous calculez un produit matriciel, assurez-vous de bien suivre l'ordre des opérations, en multipliant les éléments correspondants de la ligne de la première matrice et de la colonne de la deuxième matrice, puis en les additionnant.

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Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Matrix Multiplication
Linear Algebra

Formulas

Matrix product formula: c_{ij} = Σ (A_{ik} * B_{kj})
Row-by-column multiplication for matrix product

Theorems

Matrix multiplication rules

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Grades 11-12 or College Level