Math Problem Statement
Q15 Soient A = 1 0 1 2 α 1 et B = 1 0 2 1 1 1 . Si on note la matrice A × B par (cij )i,j , alors A. c11 = 2, B. c11 = 1, C. c22 = 1 + α, D. c22 = 2, E. c22 = 1.
Solution
Pour résoudre ce problème, nous devons effectuer le produit matriciel et déterminer les valeurs des éléments de la matrice résultante.
Les matrices données sont les suivantes :
1 & 0 & 1 \\ 2 & \alpha & 1 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Le produit de ces matrices est défini comme suit : si $$C = A \times B$$, alors $$c_{ij}$$ (élément de la matrice $$C$$) est calculé en prenant le produit scalaire de la $$i$$-ème ligne de $$A$$ et de la $$j$$-ème colonne de $$B$$. ### Calcul du produit $$A \times B$$: #### Première ligne, première colonne ($$c_{11}$$) : $$c_{11} = (1 \times 1) + (0 \times 2) + (1 \times 1) = 1 + 0 + 1 = 2$$ Donc, $$c_{11} = 2$$. #### Première ligne, deuxième colonne ($$c_{12}$$) : $$c_{12} = (1 \times 0) + (0 \times 1) + (1 \times 1) = 0 + 0 + 1 = 1$$ Donc, $$c_{12} = 1$$. #### Deuxième ligne, première colonne ($$c_{21}$$) : $$c_{21} = (2 \times 1) + (\alpha \times 2) + (1 \times 1) = 2 + 2\alpha + 1 = 3 + 2\alpha$$ Donc, $$c_{21} = 3 + 2\alpha$$. #### Deuxième ligne, deuxième colonne ($$c_{22}$$) : $$c_{22} = (2 \times 0) + (\alpha \times 1) + (1 \times 1) = 0 + \alpha + 1 = \alpha + 1$$ Donc, $$c_{22} = \alpha + 1$$. ### Résumé du produit $$A \times B$$ : $$A \times B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 + 2\alpha & \alpha + 1 \end{pmatrix}$$ ### Vérification des options : - $$A. \, c_{11} = 2$$ : Cela est correct car $$c_{11} = 2$$. - $$B. \, c_{11} = 1$$ : Incorrect, car $$c_{11} = 2$$. - $$C. \, c_{22} = 1 + \alpha$$ : Correct, car $$c_{22} = \alpha + 1$$, ce qui est équivalent à $$1 + \alpha$$. - $$D. \, c_{22} = 2$$ : Incorrect, car $$c_{22} = \alpha + 1$$. - $$E. \, c_{22} = 1$$ : Incorrect, car $$c_{22} = \alpha + 1$$. ### Conclusion : Les bonnes réponses sont donc **A** et **C**. Si vous avez besoin de plus de détails ou d'éclaircissements, n'hésitez pas à demander ! Voici quelques questions complémentaires : 1. Comment déterminer le produit de deux matrices carrées ? 2. Quelle est la condition pour qu'un produit de matrices soit défini ? 3. Comment calculer le déterminant d'une matrice $$2 \times 2$$ ? 4. Quelles sont les propriétés des matrices diagonales dans un produit matriciel ? 5. Comment interpréter les résultats d'un produit matriciel dans un contexte géométrique ? **Conseil :** Lorsque vous calculez un produit matriciel, assurez-vous de bien suivre l'ordre des opérations, en multipliant les éléments correspondants de la ligne de la première matrice et de la colonne de la deuxième matrice, puis en les additionnant.Ask a new question for Free
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Matrix Multiplication
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Formulas
Matrix product formula: c_{ij} = Σ (A_{ik} * B_{kj})
Row-by-column multiplication for matrix product
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