O problema envolve a resolução da equação do calor em 1-D com uma fonte de calor móvel. Vou gerar um código MATLAB para calcular a temperatura $T(x, t)$ no intervalo $t \in [0, 3]$ usando o método das diferenças finitas implícitas. O código incluirá o cálculo do ponto $x$ onde a temperatura é máxima para $t = 3 \, \mathrm{s}$.

Segue o código MATLAB:

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% Definição dos parâmetros
L = 10; % Comprimento do domínio
T_final = 3; % Tempo final
Nx = 100; % Número de pontos espaciais
Nt = 300; % Número de passos no tempo
dx = L / (Nx - 1); % Passo espacial
dt = T_final / Nt; % Passo no tempo

% Propriedades físicas
c = 1.5e6;
rho = 1e-6;
k = 0.25;
u = 0.8;

% Constantes auxiliares
alpha = k / (rho * c);
beta = u / alpha;

% Malha espacial e temporal
x = linspace(0, L, Nx);
t = linspace(0, T_final, Nt);

% Condições iniciais e de contorno
T = ones(Nx, 1) * 20; % T(x,0) = 20
T_new = T;

% Matriz do sistema implícito
A = zeros(Nx, Nx);
for i = 2:Nx-1
    A(i, i-1) = -alpha / dx^2;
    A(i, i) = 1 / dt + 2 * alpha / dx^2;
    A(i, i+1) = -alpha / dx^2;
end
A(1, 1) = 1; % Condição de contorno ∂T/∂x(0,t)=0
A(Nx, Nx) = 1; % Condição de contorno T(10,t)=20 + (e^t - 1)

% Vetor fonte
Q = @(x, t) 85 * exp(-2 * ((x - u * t) / 0.25).^2);

% Loop no tempo
for n = 1:Nt
    % Atualização do vetor fonte
    b = T / dt;
    for i = 2:Nx-1
        b(i) = b(i) + Q(x(i), t(n));
    end
    b(1) = b(2); % ∂T/∂x(0,t)=0
    b(Nx) = 20 + (exp(t(n)) - 1); % T(10,t)=20 + (e^t - 1)
    
    % Resolução do sistema linear
    T_new = A \ b;
    T = T_new;
end

% Cálculo da posição de temperatura máxima para t = 3 s
[~, idx_max] = max(T);
x_max = x(idx_max);

% Resultados
fprintf('Temperatura máxima em t=3s ocorre em x=%.4f m\n', x_max);
fprintf('Valor da temperatura máxima: %.4f °C\n', T(idx_max));

% Plot dos resultados
figure;
plot(x, T, '-r', 'LineWidth', 1.5);
xlabel('x (m)');
ylabel('T (°C)');
title('Distribuição de temperatura em t = 3 s');
grid on;

Descrição do Código:

1. Definição dos Parâmetros: São utilizados valores do problema, incluindo constantes físicas e propriedades do domínio.
2. Discretização Implícita: A matriz $A$ representa o sistema linear das diferenças finitas.
3. Fonte de Calor: É implementada a função $Q(x, t)$ com o termo gaussiano.
4. Condições de Contorno:
   • Derivada nula em $x=0$: $\frac{\partial T}{\partial x}(0,t) = 0$.
   • Valor especificado em $x=L$: $T(10,t) = 20 + (e^t - 1)$.
5. Cálculo da Temperatura Máxima: Determina-se o ponto $x$ e o valor da temperatura máxima em $t = 3$.

Deseja explorar detalhes sobre algum trecho do código?

5 Perguntas Relativas:

1. Como é montada a matriz do sistema implícito $A$?
2. Por que a condição de contorno $\frac{\partial T}{\partial x}(0, t) = 0$ é implementada dessa forma?
3. Qual é a vantagem do método implícito sobre o método explícito nesse contexto?
4. Deseja visualizar o comportamento da temperatura em outros momentos, além de $t = 3$?
5. Como ajustar o código para outros valores de $u$ ou propriedades físicas?

Dica:

Utilize funções vetoriais em MATLAB para otimizar cálculos como $Q(x, t)$, principalmente em malhas grandes.