https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1734733259058ueyuzlbw.jpg

Так как нам надо разложить до бесконечного члена (o(x^n) необходимо использовать ряд маклорена с остатком пьяно

В задании просят разложить функции \( e^{-2x-1} \) и \( \ln(5-2x) \) в ряд Маклорена с точностью до \( o(x^n) \). Для выполнения этого разложения используем формулы разложения в ряд Тейлора/Маклорена.

---

### **1. Разложение \( e^{-2x-1} \):**
Функция \( e^{u} \) в общем случае имеет разложение:
\[
e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \frac{u^3}{3!} + \dots
\]

Подставим \( u = -2x - 1 \):
\[
e^{-2x-1} = e^{-1} \cdot e^{-2x}.
\]
Используем \( e^{-1} \) как постоянный множитель, и разложим \( e^{-2x} \) до нужного порядка:
\[
e^{-2x} = 1 - 2x + \frac{(-2x)^2}{2!} - \frac{(-2x)^3}{3!} + \dots
\]
\[
e^{-2x} = 1 - 2x + 2x^2 - \frac{4x^3}{3} + \dots
\]

Учитывая \( e^{-1} \), ряд становится:
\[
e^{-2x-1} = e^{-1} \cdot \left(1 - 2x + 2x^2 - \frac{4x^3}{3} + \dots\right).
\]

---

### **2. Разложение \( \ln(5-2x) \):**
Функция \( \ln(1 + u) \) имеет разложение:
\[
\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \dots \quad \text{при } |u| < 1.
\]

Преобразуем \( \ln(5 - 2x) \):
\[
\ln(5 - 2x) = \ln\left(5 \cdot \left(1 - \frac{2x}{5}\right)\right) = \ln(5) + \ln\left(1 - \frac{2x}{5}\right).
\]

Разложим \( \ln\left(1 - \frac{2x}{5}\right) \) до нужного порядка:
\[
\ln\left(1 - \frac{2x}{5}\right) = -\frac{2x}{5} - \frac{\left(-\frac{2x}{5}\right)^2}{2} - \frac{\left(-\frac{2x}{5}\right)^3}{3} + \dots
\]
\[
= -\frac{2x}{5} - \frac{4x^2}{25 \cdot 2} - \frac{8x^3}{125 \cdot 3} + \dots
\]
\[
= -\frac{2x}{5} - \frac{2x^2}{25} - \frac{8x^3}{375} + \dots
\]

Итог:
\[
\ln(5-2x) = \ln(5) - \frac{2x}{5} - \frac{2x^2}{25} - \frac{8x^3}{375} + \dots
\]

---

Если требуется уточнение порядка или дальнейшее разложение, уточните! 😊  

### **Вопросы для понимания:**
1. Хотите разложение для конкретного \( n \) (например, до \( o(x^4) \))?
2. Требуется ли объяснить шаги разложения \( e^u \) или \( \ln(1+u) \)?
3. Интересует ли метод остатков в разложении (термин Пьяно)?
4. Нужно ли рассмотреть ошибки в приближении при ограниченном количестве членов?
5. Требуется ли графическое сравнение функции и её ряда?

### **Совет:**
Для сложных функций часто удобно сначала упростить выражение (например, выделить множитель или преобразовать логарифм), чтобы разложение стало проще.

Разложить в ряд Маклорена до o(x^n) функции e^{-2x-1} и ln(5-2x).

Step-by-step guide to expand e^{-2x-1} and ln(5-2x} into Maclaurin series up to o(x^n). This explanation covers exponential and logarithmic functions, including Taylor and Maclaurin series formulas, suitable for advanced high school and early university students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation