Untuk membuktikan ekuivalensi dari pernyataan logika berikut:

$((P \lor Q) \land \neg(\neg P \land (\neg Q \lor \neg R))) \lor (\neg P \land \neg Q) \lor (\neg P \land \neg R) \equiv T$

kita akan menerapkan serangkaian hukum-hukum logika seperti distribusi, hukum De Morgan, dan hukum negasi ganda untuk menyederhanakan pernyataan tersebut hingga setara dengan T (tautologi).

Langkah 1: Bekerja dengan komponen di dalam negasi

Kita mulai dengan menyederhanakan bagian yang ada di dalam tanda negasi:

$\neg(\neg P \land (\neg Q \lor \neg R))$

Gunakan hukum De Morgan:

$\neg(\neg P \land (\neg Q \lor \neg R)) \equiv \neg(\neg P) \lor \neg(\neg Q \lor \neg R)$

$\equiv P \lor (\neg \neg Q \land \neg \neg R)$

Gunakan hukum negasi ganda:

$\equiv P \lor (Q \land R)$

Jadi, pernyataan yang lebih sederhana adalah:

$((P \lor Q) \land (P \lor (Q \land R))) \lor (\neg P \land \neg Q) \lor (\neg P \land \neg R)$

Langkah 2: Distribusi dari $(P \lor Q) \land (P \lor (Q \land R))$

Sekarang kita distribusikan $(P \lor Q) \land (P \lor (Q \land R))$:

$(P \lor Q) \land (P \lor (Q \land R)) \equiv (P \lor Q) \land (P \lor Q \land P \lor R)$

Sederhanakan dengan hukum idempoten dan asosiatif:

$\equiv (P \lor Q)$

Sehingga, pernyataannya menjadi:

$(P \lor Q) \lor (\neg P \land \neg Q) \lor (\neg P \land \neg R)$

Langkah 3: Pertimbangkan seluruh bentuk pernyataan

Sekarang pernyataannya adalah:

$(P \lor Q) \lor (\neg P \land \neg Q) \lor (\neg P \land \neg R)$

Distribusi $(P \lor Q)$ terhadap $(\neg P \land \neg Q)$:

$(P \lor Q) \lor (\neg P \land \neg Q) \equiv T \quad \text{(tautologi)}$

Karena $P \lor Q$ dan $\neg P \land \neg Q$ mencakup semua kemungkinan nilai logika untuk $P$ dan $Q$, maka gabungan keduanya menghasilkan tautologi (T).

Oleh karena itu, pernyataan aslinya setara dengan $T$, karena bagian terakhir $(\neg P \land \neg R)$ tidak lagi mempengaruhi hasil.

Kesimpulan

Dari hasil di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa pernyataan awal:

$((P \lor Q) \land \neg(\neg P \land (\neg Q \lor \neg R))) \lor (\neg P \land \neg Q) \lor (\neg P \land \neg R)$

setara dengan $T$, yang berarti pernyataan tersebut adalah tautologi.

---

Ada pertanyaan atau butuh penjelasan lebih detail?

Berikut 5 soal lanjutan yang dapat membantu memahami lebih lanjut:

1. Buktikan bahwa $P \lor \neg P \equiv T$ menggunakan hukum logika.
2. Tunjukkan bahwa $(P \land Q) \lor (\neg P \lor \neg Q) \equiv T$.
3. Gunakan hukum De Morgan untuk menyederhanakan $\neg(P \lor Q)$.
4. Buktikan bahwa $(P \lor Q) \land (\neg P \lor R) \equiv (P \land R) \lor Q$.
5. Tunjukkan bahwa $(P \land Q) \lor (P \land \neg Q) \equiv P$.

Tip: Hukum distribusi dan De Morgan adalah alat penting dalam menyederhanakan ekspresi logika yang kompleks.