Es sei B 1

{ → e 1 , → e 2 , → e 3 } die Standardbasis des R 3 und B 2

{ → v 1 , → v 2 , → v 3 } die Basis mit

→ v 1

⎡ ⎢ ⎣ 4 4 0 ⎤ ⎥ ⎦ , → v 2

⎡ ⎢ ⎣ 0 0 3 ⎤ ⎥ ⎦ , → v 3

⎡ ⎢ ⎣ 5 6 0 ⎤ ⎥ ⎦ .

Weiter sei die lineare Abbildung f : R 3 → R 3 durch die folgenden Bilder gegeben

f ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 0 ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

⎡ ⎢ ⎣ − 1 − 2 − 2 ⎤ ⎥ ⎦ , f ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ 0 1 0 ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

⎡ ⎢ ⎣ 0 − 1 − 1 ⎤ ⎥ ⎦ , f ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

⎡ ⎢ ⎣ 1 5 4 ⎤ ⎥ ⎦ .

a) Berechnen Sie f B 1 , B 1 .

-1 0 1 -2 -1 5 -2 -1 4 Ihre letzte Antwort wurde folgendermaßen interpretiert: ⎡ ⎢ ⎣ − 1 0 1 − 2 − 1 5 − 2 − 1 4 ⎤ ⎥ ⎦

b) Berechnen Sie

K B 1 ( → v 1 )

4 4 0 Ihre letzte Antwort wurde folgendermaßen interpretiert: ⎡ ⎢ ⎣ 4 4 0 ⎤ ⎥ ⎦

K B 1 ( → v 2 )

0 0 3 Ihre letzte Antwort wurde folgendermaßen interpretiert: ⎡ ⎢ ⎣ 0 0 3 ⎤ ⎥ ⎦

K B 1 ( → v 3 )

5 6 0 Ihre letzte Antwort wurde folgendermaßen interpretiert: ⎡ ⎢ ⎣ 5 6 0 ⎤ ⎥ ⎦

c) Berechnen Sie die Basiswechselmatrix id B 2 , B 1 von B 2 nach B 1 .

d) Wählen Sie die richtige Aussage.Es ist genau eine Aussage richtig.

id B 1 , B 2

id B 2 , B 1 ∘ f B 1 , B 1

id B 1 , B 2

( id B 2 , B 1 ) − 1

id B 1 , B 2

f B 1 , B 1 ∘ id B 2 , B 1

id B 1 , B 2

( id B 2 , B 1 ) T e) Berechnen Sie die Basiswechselmatrix id B 1 , B 2 von B 1 nach B 2 .

f) Wählen Sie die richtige Aussage.Es ist genau eine Aussage richtig.

f B 2 , B 2

id B 2 , B 1 f B 1 , B 1 id B 1 , B 2

f B 2 , B 2

f B 1 , B 1 id B 1 , B 2 id B 2 , B 1

f B 2 , B 2

id B 1 , B 2 f B 1 , B 1 id B 2 , B 1

f B 2 , B 2

id B 1 , B 2 id B 2 , B 1 f B 1 , B 1 g) Berechnen Sie f B 2 , B 2 mit f B 1 , B 1 und den Basiswechselmatrizen.