Math Problem Statement
Es sei B 1
{ → e 1 , → e 2 , → e 3 } die Standardbasis des R 3 und B 2
{ → v 1 , → v 2 , → v 3 } die Basis mit
→ v 1
⎡ ⎢ ⎣ 4 4 0 ⎤ ⎥ ⎦ , → v 2
⎡ ⎢ ⎣ 0 0 3 ⎤ ⎥ ⎦ , → v 3
⎡ ⎢ ⎣ 5 6 0 ⎤ ⎥ ⎦ .
Weiter sei die lineare Abbildung f : R 3 → R 3 durch die folgenden Bilder gegeben
f ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 0 ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠
⎡ ⎢ ⎣ − 1 − 2 − 2 ⎤ ⎥ ⎦ , f ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ 0 1 0 ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠
⎡ ⎢ ⎣ 0 − 1 − 1 ⎤ ⎥ ⎦ , f ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠
⎡ ⎢ ⎣ 1 5 4 ⎤ ⎥ ⎦ .
a) Berechnen Sie f B 1 , B 1 .
-1 0 1 -2 -1 5 -2 -1 4 Ihre letzte Antwort wurde folgendermaßen interpretiert: ⎡ ⎢ ⎣ − 1 0 1 − 2 − 1 5 − 2 − 1 4 ⎤ ⎥ ⎦
b) Berechnen Sie
K B 1 ( → v 1 )
4 4 0 Ihre letzte Antwort wurde folgendermaßen interpretiert: ⎡ ⎢ ⎣ 4 4 0 ⎤ ⎥ ⎦
K B 1 ( → v 2 )
0 0 3 Ihre letzte Antwort wurde folgendermaßen interpretiert: ⎡ ⎢ ⎣ 0 0 3 ⎤ ⎥ ⎦
K B 1 ( → v 3 )
5 6 0 Ihre letzte Antwort wurde folgendermaßen interpretiert: ⎡ ⎢ ⎣ 5 6 0 ⎤ ⎥ ⎦
c) Berechnen Sie die Basiswechselmatrix id B 2 , B 1 von B 2 nach B 1 .
d) Wählen Sie die richtige Aussage.Es ist genau eine Aussage richtig.
id B 1 , B 2
id B 2 , B 1 ∘ f B 1 , B 1
id B 1 , B 2
( id B 2 , B 1 ) − 1
id B 1 , B 2
f B 1 , B 1 ∘ id B 2 , B 1
id B 1 , B 2
( id B 2 , B 1 ) T e) Berechnen Sie die Basiswechselmatrix id B 1 , B 2 von B 1 nach B 2 .
f) Wählen Sie die richtige Aussage.Es ist genau eine Aussage richtig.
f B 2 , B 2
id B 2 , B 1 f B 1 , B 1 id B 1 , B 2
f B 2 , B 2
f B 1 , B 1 id B 1 , B 2 id B 2 , B 1
f B 2 , B 2
id B 1 , B 2 f B 1 , B 1 id B 2 , B 1
f B 2 , B 2
id B 1 , B 2 id B 2 , B 1 f B 1 , B 1 g) Berechnen Sie f B 2 , B 2 mit f B 1 , B 1 und den Basiswechselmatrizen.
Solution
Solution
a) Berechnen Sie :
The transformation matrix is constructed by arranging the images of the standard basis vectors , , and under as columns:
\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ -2 & -1 & 5 \\ -2 & -1 & 4 \end{bmatrix}$$ #### **b) Berechnen Sie $$K_{B_1}(\vec{v}_1)$$, $$K_{B_1}(\vec{v}_2)$$, $$K_{B_1}(\vec{v}_3)$$:** The matrix $$K_{B_1}$$ expresses the coordinates of the vectors $$\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3$$ in the standard basis $$B_1$$. In this case: - $$\vec{v}_1 = \begin{bmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{bmatrix}$$ is already expressed in $$B_1$$, so $$K_{B_1}(\vec{v}_1) = \begin{bmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{bmatrix}$$. - $$\vec{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}$$, so $$K_{B_1}(\vec{v}_2) = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}$$. - $$\vec{v}_3 = \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \\ 0 \end{bmatrix}$$, so $$K_{B_1}(\vec{v}_3) = \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \\ 0 \end{bmatrix}$$. #### **c) Berechnen Sie die Basiswechselmatrix $$id_{B_2,B_1}$$:** The change of basis matrix $$id_{B_2,B_1}$$ converts coordinates from $$B_2$$ to $$B_1$$. It is formed by expressing the basis vectors $$\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3$$ of $$B_2$$ in the standard basis $$B_1$$: $$id_{B_2,B_1} = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 5 \\ 4 & 0 & 6 \\ 0 & 3 & 0 \end{bmatrix}$$ #### **d) Wählen Sie die richtige Aussage:** Among the given options, the correct statement is: $$id_{B_1,B_2} = (id_{B_2,B_1})^{-1}$$ This is because $$id_{B_1,B_2}$$ and $$id_{B_2,B_1}$$ are inverses of each other. #### **e) Berechnen Sie die Basiswechselmatrix $$id_{B_1,B_2}$$:** To compute $$id_{B_1,B_2}$$, take the inverse of $$id_{B_2,B_1}$$: $$id_{B_1,B_2} = (id_{B_2,B_1})^{-1}$$ For \( id_{B_2,B_1} = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 5 \\ 4 & 0 & 6 \\ 0 & 3 & 0 \end{bmatrix} \), compute the inverse: $$id_{B_1,B_2} = \begin{bmatrix} \frac{3}{4} & 0 & -\frac{5}{4} \\ -\frac{1}{4} & 0 & \frac{5}{4} \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \end{bmatrix}$$ #### **f) Wählen Sie die richtige Aussage:** The correct statement is: $$f_{B_2,B_2} = id_{B_2,B_1} f_{B_1,B_1} id_{B_1,B_2}$$ This reflects the transformation of $$f$$ into the new basis $$B_2$$. #### **g) Berechnen Sie $$f_{B_2,B_2}$$:** To compute $$f_{B_2,B_2}$$: $$f_{B_2,B_2} = id_{B_2,B_1} f_{B_1,B_1} id_{B_1,B_2}$$ Substitute: $$f_{B_2,B_2} = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 5 \\ 4 & 0 & 6 \\ 0 & 3 & 0 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ -2 & -1 & 5 \\ -2 & -1 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 0 & 5 \\ 4 & 0 & 6 \\ 0 & 3 & 0 \end{bmatrix}$$ Carry out the matrix multiplication to get $$f_{B_2,B_2}$$. Would you like a detailed computation of $$f_{B_2,B_2}$$? --- #### **Relative Questions:** 1. How can one compute the inverse of a $$3 \times 3$$ matrix manually? 2. What are the properties of transformation matrices with respect to bases? 3. How does one verify the correctness of a basis change matrix? 4. How do eigenvalues and eigenvectors change under a change of basis? 5. Why is $$id_{B_1,B_2}$$ the inverse of $$id_{B_2,B_1}$$? #### **Tip:** Always verify the invertibility of a matrix before computing its inverse,Ask a new question for Free
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Mathematical Concepts
Linear Algebra
Basis and Dimension
Matrix Transformations
Change of Basis
Formulas
Transformation matrix: T = [f(e₁), f(e₂), f(e₃)]
Change of basis matrix: id_{B₂,B₁} = [v₁, v₂, v₃] in B₁
Inverse of a matrix: A⁻¹
Matrix multiplication: AB
Theorems
Change of Basis Theorem
Properties of Linear Transformations
Suitable Grade Level
Undergraduate (Linear Algebra Course)
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