πότε ένα σήμα είναι γραμμικό, χρονικά αμετάβλητο, αιτιατό και πότε ευσταθές? παράδειγμα y(t)=10x( t-1)+8x(t-6)



Για να καθορίσουμε αν ένα σύστημα είναι γραμμικό, χρονικά αμετάβλητο, αιτιατό και ευσταθές, πρέπει να εξετάσουμε τα παρακάτω χαρακτηριστικά:

### 1. Γραμμικότητα:
Ένα σύστημα είναι γραμμικό αν ικανοποιεί την αρχή της επαλληλίας, δηλαδή αν είναι **ομογενές** και **προστιθέμενο**:
- **Ομογένεια:** Αν η έξοδος \( y(t) \) αντιστοιχεί σε είσοδο \( x(t) \), τότε για πολλαπλάσια της εισόδου \( a \cdot x(t) \), η έξοδος πρέπει να είναι \( a \cdot y(t) \).
- **Προστιθέμενη:** Για \( x_1(t) \) και \( x_2(t) \) εισόδους, η έξοδος της συνάρτησης \( x_1(t) + x_2(t) \) πρέπει να είναι το άθροισμα των εξόδων για τις μεμονωμένες εισόδους, δηλαδή \( y_1(t) + y_2(t) \).

**Για το παράδειγμα** \( y(t) = 10x(t-1) + 8x(t-6) \):
- Είναι γραμμικό, καθώς η συνάρτηση είναι γραμμικός συνδυασμός των εισόδων \( x(t-1) \) και \( x(t-6) \).

### 2. Χρονική αμεταβλητότητα (Time Invariance):
Ένα σύστημα είναι χρονικά αμετάβλητο αν η έξοδος για μία είσοδο που μετατοπίζεται χρονικά κατά \( \tau \), δηλαδή \( x(t-\tau) \), οδηγεί σε μία έξοδο μετατοπισμένη κατά το ίδιο χρονικό διάστημα, δηλαδή \( y(t-\tau) \).

**Για το παράδειγμα**:
- Το σύστημα είναι χρονικά αμετάβλητο, καθώς οι χρονικές μετατοπίσεις της εισόδου εμφανίζονται κατευθείαν στις συναρτήσεις εισόδου χωρίς να αλλάζουν άλλες παράμετροι.

### 3. Αιτιατότητα:
Ένα σύστημα είναι αιτιατό αν η έξοδος \( y(t) \) εξαρτάται μόνο από τις παρούσες και τις παρελθούσες τιμές της εισόδου, δηλαδή δεν επηρεάζεται από μελλοντικές τιμές της εισόδου.

**Για το παράδειγμα**:
- Το σύστημα είναι αιτιατό, καθώς οι συναρτήσεις \( x(t-1) \) και \( x(t-6) \) εξαρτώνται από παρελθούσες τιμές της εισόδου (μετατοπίσεις στο παρελθόν).

### 4. Ευστάθεια:
Ένα σύστημα είναι ευσταθές αν για κάθε πεπερασμένη είσοδο \( x(t) \) παράγει μια επίσης πεπερασμένη έξοδο \( y(t) \). Τυπικά αυτό σημαίνει ότι το σύστημα έχει μια **περιορισμένη έξοδο** για κάθε περιορισμένη είσοδο (bounded input leads to bounded output - BIBO stability).

**Για το παράδειγμα**:
- Το σύστημα είναι ευσταθές, καθώς για κάθε πεπερασμένη είσοδο \( x(t) \), οι συντελεστές \( 10 \) και \( 8 \) πολλαπλασιάζουν απλώς την είσοδο, άρα η έξοδος παραμένει πεπερασμένη.

### Συνοπτικά για το \( y(t) = 10x(t-1) + 8x(t-6) \):
- **Γραμμικό**: Ναι.
- **Χρονικά αμετάβλητο**: Ναι.
- **Αιτιατό**: Ναι.
- **Ευσταθές**: Ναι.

---

Θέλεις περισσότερες λεπτομέρειες ή έχεις κάποια ερώτηση;

### Σχετικές ερωτήσεις:
1. Πώς ελέγχεται η αιτιατότητα σε ένα σύστημα διακριτού χρόνου;
2. Ποια είναι η διαφορά μεταξύ αιτιατότητας και αντιαιτιατότητας;
3. Τι σημαίνει όταν ένα σύστημα δεν είναι ευσταθές;
4. Πώς μπορεί να διαπιστωθεί αν ένα σύστημα είναι χρονικά αμετάβλητο;
5. Μπορεί ένα μη γραμμικό σύστημα να είναι ευσταθές;

### Συμβουλή:
Για να ελέγξεις αν ένα σύστημα είναι ευσταθές, παρατήρησε πώς μεταβάλλεται η έξοδος όταν η είσοδος αυξάνεται εκθετικά. Αν η έξοδος δεν παραμένει πεπερασμένη, το σύστημα δεν είναι ευσταθές.

πότε ένα σήμα είναι γραμμικό, χρονικά αμετάβλητο, αιτιατό και πότε ευσταθές? παράδειγμα y(t)=10x(t-1)+8x(t-6)

Explore how to determine if a system is linear, time-invariant, causal, and stable using the example y(t)=10x(t-1)+8x(t-6). This page explains the key concepts of linearity, time invariance, causality, and stability in signal processing, making it suitable for university-level students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation