Για να καθορίσουμε αν ένα σύστημα είναι γραμμικό, χρονικά αμετάβλητο, αιτιατό και ευσταθές, πρέπει να εξετάσουμε τα παρακάτω χαρακτηριστικά:

1. Γραμμικότητα:

Ένα σύστημα είναι γραμμικό αν ικανοποιεί την αρχή της επαλληλίας, δηλαδή αν είναι ομογενές και προστιθέμενο:

• Ομογένεια: Αν η έξοδος $y(t)$ αντιστοιχεί σε είσοδο $x(t)$, τότε για πολλαπλάσια της εισόδου $a \cdot x(t)$, η έξοδος πρέπει να είναι $a \cdot y(t)$.
• Προστιθέμενη: Για $x_1(t)$ και $x_2(t)$ εισόδους, η έξοδος της συνάρτησης $x_1(t) + x_2(t)$ πρέπει να είναι το άθροισμα των εξόδων για τις μεμονωμένες εισόδους, δηλαδή $y_1(t) + y_2(t)$.

Για το παράδειγμα $y(t) = 10x(t-1) + 8x(t-6)$:

• Είναι γραμμικό, καθώς η συνάρτηση είναι γραμμικός συνδυασμός των εισόδων $x(t-1)$ και $x(t-6)$.

2. Χρονική αμεταβλητότητα (Time Invariance):

Ένα σύστημα είναι χρονικά αμετάβλητο αν η έξοδος για μία είσοδο που μετατοπίζεται χρονικά κατά $\tau$, δηλαδή $x(t-\tau)$, οδηγεί σε μία έξοδο μετατοπισμένη κατά το ίδιο χρονικό διάστημα, δηλαδή $y(t-\tau)$.

Για το παράδειγμα:

• Το σύστημα είναι χρονικά αμετάβλητο, καθώς οι χρονικές μετατοπίσεις της εισόδου εμφανίζονται κατευθείαν στις συναρτήσεις εισόδου χωρίς να αλλάζουν άλλες παράμετροι.

3. Αιτιατότητα:

Ένα σύστημα είναι αιτιατό αν η έξοδος $y(t)$ εξαρτάται μόνο από τις παρούσες και τις παρελθούσες τιμές της εισόδου, δηλαδή δεν επηρεάζεται από μελλοντικές τιμές της εισόδου.

Για το παράδειγμα:

• Το σύστημα είναι αιτιατό, καθώς οι συναρτήσεις $x(t-1)$ και $x(t-6)$ εξαρτώνται από παρελθούσες τιμές της εισόδου (μετατοπίσεις στο παρελθόν).

4. Ευστάθεια:

Ένα σύστημα είναι ευσταθές αν για κάθε πεπερασμένη είσοδο $x(t)$ παράγει μια επίσης πεπερασμένη έξοδο $y(t)$. Τυπικά αυτό σημαίνει ότι το σύστημα έχει μια περιορισμένη έξοδο για κάθε περιορισμένη είσοδο (bounded input leads to bounded output - BIBO stability).

Για το παράδειγμα:

• Το σύστημα είναι ευσταθές, καθώς για κάθε πεπερασμένη είσοδο $x(t)$, οι συντελεστές $10$ και $8$ πολλαπλασιάζουν απλώς την είσοδο, άρα η έξοδος παραμένει πεπερασμένη.

Συνοπτικά για το $y(t) = 10x(t-1) + 8x(t-6)$:

• Γραμμικό: Ναι.
• Χρονικά αμετάβλητο: Ναι.
• Αιτιατό: Ναι.
• Ευσταθές: Ναι.

---

Θέλεις περισσότερες λεπτομέρειες ή έχεις κάποια ερώτηση;

Σχετικές ερωτήσεις:

1. Πώς ελέγχεται η αιτιατότητα σε ένα σύστημα διακριτού χρόνου;
2. Ποια είναι η διαφορά μεταξύ αιτιατότητας και αντιαιτιατότητας;
3. Τι σημαίνει όταν ένα σύστημα δεν είναι ευσταθές;
4. Πώς μπορεί να διαπιστωθεί αν ένα σύστημα είναι χρονικά αμετάβλητο;
5. Μπορεί ένα μη γραμμικό σύστημα να είναι ευσταθές;

Συμβουλή:

Για να ελέγξεις αν ένα σύστημα είναι ευσταθές, παρατήρησε πώς μεταβάλλεται η έξοδος όταν η είσοδος αυξάνεται εκθετικά. Αν η έξοδος δεν παραμένει πεπερασμένη, το σύστημα δεν είναι ευσταθές.