линейное представление НОД(72181,7279)=29

Для того чтобы найти линейное представление наибольшего общего делителя (НОД) для чисел 72181 и 7279, нужно использовать **алгоритм Евклида** и его расширение (расширенный алгоритм Евклида).

1. **Алгоритм Евклида**: Находим сам НОД, выполняя деление с остатком до тех пор, пока остаток не станет равен 0.

\[
72181 = 9 \cdot 7279 + 4468
\]
\[
7279 = 1 \cdot 4468 + 2811
\]
\[
4468 = 1 \cdot 2811 + 1657
\]
\[
2811 = 1 \cdot 1657 + 1154
\]
\[
1657 = 1 \cdot 1154 + 503
\]
\[
1154 = 2 \cdot 503 + 148
\]
\[
503 = 3 \cdot 148 + 59
\]
\[
148 = 2 \cdot 59 + 30
\]
\[
59 = 1 \cdot 30 + 29
\]
\[
30 = 1 \cdot 29 + 1
\]
\[
29 = 29 \cdot 1 + 0
\]

Последний ненулевой остаток — это и есть НОД(72181, 7279) = **29**.

2. **Расширенный алгоритм Евклида**: Теперь найдем линейное представление НОД в виде \( 29 = 72181 \cdot x + 7279 \cdot y \), используя обратный путь.

Из последней строки:
\[
29 = 59 - 1 \cdot 30
\]
Подставляем \( 30 = 148 - 2 \cdot 59 \):
\[
29 = 59 - 1 \cdot (148 - 2 \cdot 59) = 3 \cdot 59 - 1 \cdot 148
\]
Подставляем \( 59 = 503 - 3 \cdot 148 \):
\[
29 = 3 \cdot (503 - 3 \cdot 148) - 1 \cdot 148 = 3 \cdot 503 - 10 \cdot 148
\]
Подставляем \( 148 = 1154 - 2 \cdot 503 \):
\[
29 = 3 \cdot 503 - 10 \cdot (1154 - 2 \cdot 503) = 23 \cdot 503 - 10 \cdot 1154
\]
Подставляем \( 503 = 1657 - 1 \cdot 1154 \):
\[
29 = 23 \cdot (1657 - 1 \cdot 1154) - 10 \cdot 1154 = 23 \cdot 1657 - 33 \cdot 1154
\]
Подставляем \( 1154 = 2811 - 1 \cdot 1657 \):
\[
29 = 23 \cdot 1657 - 33 \cdot (2811 - 1 \cdot 1657) = 56 \cdot 1657 - 33 \cdot 2811
\]
Подставляем \( 1657 = 4468 - 1 \cdot 2811 \):
\[
29 = 56 \cdot (4468 - 1 \cdot 2811) - 33 \cdot 2811 = 56 \cdot 4468 - 89 \cdot 2811
\]
Подставляем \( 2811 = 7279 - 1 \cdot 4468 \):
\[
29 = 56 \cdot 4468 - 89 \cdot (7279 - 1 \cdot 4468) = 145 \cdot 4468 - 89 \cdot 7279
\]
Подставляем \( 4468 = 72181 - 9 \cdot 7279 \):
\[
29 = 145 \cdot (72181 - 9 \cdot 7279) - 89 \cdot 7279 = 145 \cdot 72181 - 1354 \cdot 7279
\]

Итак, мы получили линейное представление:
\[
29 = 145 \cdot 72181 - 1354 \cdot 7279
\]

Таким образом, линейное представление НОД(72181, 7279) имеет вид:
\[
29 = 72181 \cdot 145 - 7279 \cdot 1354
\]

---

Хотите, чтобы я объяснил расширенный алгоритм Евклида подробнее? Вот 5 вопросов для закрепления:

1. Какой основной шаг в алгоритме Евклида?
2. Что означает "линейное представление" НОД?
3. Чем отличается расширенный алгоритм Евклида от обычного?
4. Могут ли два числа иметь НОД больше 1 и не быть кратными друг другу?
5. Как применяется расширенный алгоритм Евклида в криптографии?

**Совет:** Алгоритм Евклида эффективен для больших чисел и помогает не только найти НОД, но и решить диофантовые уравнения.

Learn how to find the linear representation of GCD(72181, 7279) = 29 using the Extended Euclidean Algorithm. Follow the detailed step-by-step solution to understand the process. This problem covers key number theory concepts such as the Euclidean algorithm and its extension, making it ideal for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation