Решение задачи 1

Для модели: $\text{dist}_i = \beta_1 + \beta_2 \text{speed}_i + u_i,$ согласно классическим предпосылкам, длина тормозного пути при $\text{speed}_i = 20$ имеет прогнозируемое значение: $\hat{\text{dist}} = \hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2 \cdot 20.$

Для 95%-го доверительного интервала ожидаемой длины тормозного пути используется стандартная формула: $CI = \hat{y} \pm t_{0.025, n-2} \cdot SE(\hat{y}),$ где:

• $\hat{y} = \hat{\beta}_1 + \hat{\beta}_2 \cdot 20$,
• $t_{0.025, n-2}$ — критическое значение t-распределения,
• $SE(\hat{y})$ — стандартная ошибка прогноза.

Этапы:

1. Построение модели, оценка коэффициентов $\hat{\beta}_1$ и $\hat{\beta}_2$.
2. Расчет $\hat{y}$ при $\text{speed}_i = 20$.
3. Расчет стандартной ошибки прогноза.
4. Построение интервала.

Данные по модели и $SE(\hat{y})$ отсутствуют, поэтому расчеты зависят от загруженных данных. Если данные доступны, предоставьте их, чтобы я мог провести точный расчет.

---

Решение задачи 2

Дана парная регрессия: $\hat{y}_i = 8.9 + 12.9x_i,$ где:

• Оценка дисперсии прогноза $Var(\hat{y}) = 100$,
• Оценка дисперсии ошибки $\sigma^2 = 400$.

Для построения 95%-го предиктивного интервала для $y_i$ при $x_i = 1$ используется формула: $PI = \hat{y} \pm t_{0.025, n-2} \cdot \sqrt{Var(\hat{y}) + \sigma^2}.$

1. Расчет центрального значения интервала ($\hat{y}$): $\hat{y} = 8.9 + 12.9 \cdot 1 = 21.8.$

2. Стандартная ошибка предикции: $SE(y) = \sqrt{Var(\hat{y}) + \sigma^2} = \sqrt{100 + 400} = \sqrt{500} = 22.36.$

3. Критическое значение $t_{0.025, 48}$: Для $n - 2 = 50 - 2 = 48$, критическое значение $t_{0.025, 48}$ можно найти из таблицы t-распределения: $t_{0.025, 48} \approx 2.01.$

4. Пределы интервала: $PI = 21.8 \pm 2.01 \cdot 22.36.$

Правая граница интервала: $21.8 + 2.01 \cdot 22.36 = 21.8 + 44.95 = 66.75.$

Ответ: Правая граница предиктивного интервала равна 66.75.

---

Если у вас есть дополнительные данные для задачи 1, отправьте их, и я выполню расчет.

Вопросы для расширения:

1. Какие данные предоставлены в наборе cars? Какова структура данных?
2. Нужно ли учитывать возможные преобразования переменных (например, логарифмирование)?
3. Какие дополнительные параметры требуются для расчета стандартной ошибки прогноза?
4. Как интерпретировать предиктивные и доверительные интервалы в контексте задачи?
5. Какие еще метрики могут быть полезны для оценки качества модели?

Совет: Убедитесь, что данные имеют корректный формат и соблюдают предпосылки регрессионного анализа перед началом расчетов.