Une combinaison linéaire est une expression de la forme :

$\mathbf{v} = c_1 \mathbf{v_1} + c_2 \mathbf{v_2} + \dots + c_n \mathbf{v_n}$

où :

• $\mathbf{v_1}, \mathbf{v_2}, \dots, \mathbf{v_n}$ sont des vecteurs dans un espace vectoriel.
• $c_1, c_2, \dots, c_n$ sont des scalaires (souvent des réels) appelés coefficients de la combinaison linéaire.
• $\mathbf{v}$ est un vecteur obtenu en combinant les vecteurs $\mathbf{v_1}, \mathbf{v_2}, \dots, \mathbf{v_n}$ de manière linéaire.

Exemple :

Si vous avez deux vecteurs $\mathbf{v_1} = (1, 2)$ et $\mathbf{v_2} = (3, 4)$, et deux scalaires $c_1 = 2$ et $c_2 = -1$, alors la combinaison linéaire de ces vecteurs est :

$\mathbf{v} = 2 \cdot \mathbf{v_1} + (-1) \cdot \mathbf{v_2} = 2 \cdot (1, 2) + (-1) \cdot (3, 4)$

Ce qui donne :

$\mathbf{v} = (2, 4) + (-3, -4) = (-1, 0)$

Cela montre qu'on peut obtenir un vecteur $\mathbf{v}$ par une combinaison linéaire des vecteurs de départ.

Propriétés :

1. Commutativité : L'ordre des vecteurs dans la combinaison linéaire n'affecte pas le résultat.
2. Associativité : Les opérations de combinaison linéaire peuvent être regroupées sans changer le résultat.
3. Distributivité : La combinaison linéaire est distributive par rapport à l'addition des scalaires et des vecteurs.

Voulez-vous des exemples supplémentaires ou plus d'explications sur un aspect particulier des combinaisons linéaires ?

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Questions supplémentaires :

1. Quelle est la différence entre une combinaison linéaire et une combinaison affine ?
2. Comment déterminer si un ensemble de vecteurs est linéairement indépendant ?
3. Quelle est la relation entre les combinaisons linéaires et les espaces vectoriels ?
4. Comment une combinaison linéaire peut-elle être utilisée pour définir un sous-espace ?
5. Quelle est l’importance des combinaisons linéaires dans la résolution de systèmes linéaires ?

Astuce :

Quand vous travaillez avec des combinaisons linéaires, il peut être utile de visualiser graphiquement les vecteurs et leurs combinaisons pour mieux comprendre leurs relations.