Рассмотрим задачи, выделенные желтым. Их две:

1. $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{13n + 3}{13n - 10}\right)^{n - 3}$
2. $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{\sin 5x}$

Перейдем к решению:

Задача 1:

$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{13n + 3}{13n - 10}\right)^{n - 3}$

Решение:

1. Представим дробь:
   $\frac{13n + 3}{13n - 10} = \frac{13n(1 + \frac{3}{13n})}{13n(1 - \frac{10}{13n})} = \frac{1 + \frac{3}{13n}}{1 - \frac{10}{13n}}$

2. Для больших $n$, разложим числитель и знаменатель в ряд Тейлора:
   $1 + \frac{3}{13n} \approx 1, \quad 1 - \frac{10}{13n} \approx 1 - \frac{10}{13n}.$

   Таким образом, дробь стремится к 1:

   $$$$

3. Разложим дробь:
   [ \frac{13n + 3}{13n - 10} = \frac{1 + \frac{3}{13n}}{1 - \frac{10}{13n}}$$

   При $n \to \infty$:
   $\frac{1 + \frac{3}{13n}}{1 - \frac{10}{13n}} \to 1 \quad \text{(дробь стремится к 1)}.$

4. Теперь рассмотрим показатель степени $n - 3$:
   Используем приближение для экспоненты:
   $\ln\left(\frac{13n + 3}{13n - 10}\right) \approx \ln\left(1 + \frac{3 + 10}{13n}\right) = \ln\left(1 + \frac{13}{13n}\right) \approx \frac{13}{13n}.$

5. Тогда:
   $(n - 3) \ln\left(\frac{13n + 3}{13n - 10}\right) \approx n \cdot \frac{13}{13n} = 1.$

6. Переходя от логарифма к экспоненте, получаем:
   $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{13n + 3}{13n - 10}\right)^{n - 3} = e^1 = e.$

Ответ:
$\boxed{e}$

Задача 2:

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{\sin 5x}$

Решение:

1. Для малых $x$, известно приближение:
   $\tan 2x \approx 2x, \quad \sin 5x \approx 5x.$

2. Подставляем эти приближения:
   $\frac{\tan 2x}{\sin 5x} \approx \frac{2x}{5x} = \frac{2}{5}.$

Ответ:
$\boxed{\frac{2}{5}}$

Если у вас есть вопросы или требуется больше пояснений, дайте знать!

Дополнительные вопросы для изучения темы:

1. Как решать пределы, содержащие степени и дроби, без разложения?
2. Что такое разложение Тейлора, и где его удобно применять?
3. Чем отличается приближение $\tan x \approx x$ от точного значения?
4. Как найти пределы для сложных экспоненциальных выражений?
5. Почему приближение синуса и тангенса для малых $x$ работает?

Совет:
При работе с пределами всегда проверяйте, есть ли возможность упростить выражение через разложения в ряд или асимптотическое приближение.