Nous devons calculer la limite suivante :

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1} - 1}$

Étape 1 : Simplification par multiplication par l'expression conjuguée

Le problème de cette limite vient du fait qu’au dénominateur, l’expression $\sqrt{x^2 + 1} - 1$ tend vers 0 lorsque $x \to 0$. Pour résoudre ce problème, nous pouvons multiplier le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée $\sqrt{x^2 + 1} + 1$, afin de simplifier le dénominateur.

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1} - 1} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 1} + 1}{\sqrt{x^2 + 1} + 1}$

Cela nous donne :

$\lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x^2 + 1} + 1)}{(\sqrt{x^2 + 1} - 1)(\sqrt{x^2 + 1} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x^2 + 1} + 1)}{x^2 + 1 - 1}$

Ce qui se simplifie en :

$\lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x^2 + 1} + 1)}{x^2}$

Étape 2 : Calcul de la limite

Lorsque $x \to 0$, nous avons : $\sqrt{x^2 + 1} \to 1$ Donc, l'expression devient :

$\lim_{x \to 0} \frac{x(1 + 1)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{x}$

Cette expression diverge vers l'infini lorsque $x \to 0$.

Conclusion :

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1} - 1} = +\infty$

Souhaitez-vous plus de détails sur une étape particulière ?

Voici quelques questions pour approfondir :

1. Comment choisir la bonne méthode de simplification pour résoudre une limite ?
2. Pourquoi utiliser la multiplication par l'expression conjuguée dans ce type de limites ?
3. Comment interpréter les limites infinies ?
4. Quelles autres méthodes peuvent être utilisées pour évaluer des