Calculer la limite lorsque x tend vers 0 de x sur racine de x²+1 moins 1

Nous devons calculer la limite suivante :

\[
\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1} - 1}
\]

### Étape 1 : Simplification par multiplication par l'expression conjuguée

Le problème de cette limite vient du fait qu’au dénominateur, l’expression \(\sqrt{x^2 + 1} - 1\) tend vers 0 lorsque \(x \to 0\). Pour résoudre ce problème, nous pouvons multiplier le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée \(\sqrt{x^2 + 1} + 1\), afin de simplifier le dénominateur.

\[
\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1} - 1} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 1} + 1}{\sqrt{x^2 + 1} + 1}
\]

Cela nous donne :

\[
\lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x^2 + 1} + 1)}{(\sqrt{x^2 + 1} - 1)(\sqrt{x^2 + 1} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x^2 + 1} + 1)}{x^2 + 1 - 1}
\]

Ce qui se simplifie en :

\[
\lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x^2 + 1} + 1)}{x^2}
\]

### Étape 2 : Calcul de la limite

Lorsque \(x \to 0\), nous avons :
\[
\sqrt{x^2 + 1} \to 1
\]
Donc, l'expression devient :

\[
\lim_{x \to 0} \frac{x(1 + 1)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{x}
\]

Cette expression diverge vers l'infini lorsque \(x \to 0\).

### Conclusion :
\[
\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1} - 1} = +\infty
\]

Souhaitez-vous plus de détails sur une étape particulière ?

Voici quelques questions pour approfondir :
1. Comment choisir la bonne méthode de simplification pour résoudre une limite ?
2. Pourquoi utiliser la multiplication par l'expression conjuguée dans ce type de limites ?
3. Comment interpréter les limites infinies ?
4. Quelles autres méthodes peuvent être utilisées pour évaluer des

Explore how to calculate the limit of x over sqrt(x² + 1) minus 1 as x tends to 0. This solution covers advanced calculus concepts, including the conjugate multiplication method and limit theorem. Suitable for high school students in Grades 11-12.

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