Vamos a resolver el límite dado:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x + 1} \tan\left(\frac{\pi x}{2x + 1}\right)$

Paso 1: Análisis del término $\frac{x}{x+1}$

Cuando $x \to +\infty$, $\frac{x}{x+1} = \frac{x}{x(1+\frac{1}{x})} = \frac{1}{1+\frac{1}{x}} \to 1.$

Por lo tanto, $\frac{x}{x+1} \to 1$ a medida que $x \to +\infty$.

Paso 2: Análisis del argumento de $\tan$

El argumento de $\tan$ es $\frac{\pi x}{2x+1}$. Factorizamos $x$ en el denominador: $\frac{\pi x}{2x+1} = \frac{\pi x}{x(2 + \frac{1}{x})} = \frac{\pi}{2 + \frac{1}{x}}.$ Cuando $x \to +\infty$, el término $\frac{1}{x} \to 0$, por lo que: $\frac{\pi x}{2x+1} \to \frac{\pi}{2}.$

Paso 3: Comportamiento de $\tan\left(\frac{\pi x}{2x+1}\right)$

Sabemos que $\tan\left(\frac{\pi}{2}\right)$ no está definido, ya que $\tan(x)$ tiene asíntotas verticales en $\frac{\pi}{2} + n\pi$, donde $n \in \mathbb{Z}$. Sin embargo, debido al comportamiento oscilatorio de $\tan(x)$, debemos analizar más cuidadosamente el límite completo.

El límite no existe porque $\tan\left(\frac{\pi x}{2x+1}\right)$ oscila indefinidamente entre $-\infty$ y $+\infty$ al acercarse su argumento a $\frac{\pi}{2}$.

Conclusión:

El límite no existe debido a la divergencia del término $\tan\left(\frac{\pi x}{2x+1}\right)$.

¿Tienes dudas o quieres que amplíe algún paso? Aquí hay preguntas relacionadas para practicar:

1. ¿Cómo calcular límites de funciones oscilatorias como $\tan(x)$?
2. ¿Qué sucede cuando un límite tiene un término que tiende a infinito?
3. ¿Cómo analizar límites en funciones racionales como $\frac{x}{x+1}$?
4. ¿Cuál es la periodicidad de la función tangente?
5. ¿Cómo simplificar expresiones con factorización para estudiar límites?

Tip: Siempre analiza cuidadosamente el comportamiento oscilatorio de las funciones trigonométricas cerca de sus puntos problemáticos.