Nous allons calculer la limite suivante :

$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+1} - 2}{x - 3}$

À première vue, il semble que cette limite soit de la forme indéterminée $\frac{0}{0}$. En effet, si nous évaluons directement en $x = 3$ :

$\frac{\sqrt{3+1} - 2}{3 - 3} = \frac{\sqrt{4} - 2}{0} = \frac{2 - 2}{0} = \frac{0}{0}$

Pour résoudre cette indétermination, nous allons multiplier par le conjugué du numérateur. Le conjugué de $\sqrt{x+1} - 2$ est $\sqrt{x+1} + 2$. On multiplie donc le numérateur et le dénominateur par ce conjugué :

$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+1} - 2}{x - 3} \times \frac{\sqrt{x+1} + 2}{\sqrt{x+1} + 2} = \lim_{x \to 3} \frac{(\sqrt{x+1})^2 - 2^2}{(x - 3)(\sqrt{x+1} + 2)}$

Cela simplifie le numérateur grâce à la différence de carrés :

$(\sqrt{x+1})^2 - 2^2 = (x + 1) - 4 = x - 3$

La limite devient alors :

$\lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{(x - 3)(\sqrt{x+1} + 2)}$

On peut maintenant simplifier par $x - 3$ (tant que $x \neq 3$) :

$\lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt{x+1} + 2}$

En substituant $x = 3$ dans l'expression, on obtient :

$\frac{1}{\sqrt{3+1} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$

La limite recherchée est donc :

$\boxed{\frac{1}{4}}$

Souhaitez-vous plus de détails ou avez-vous des questions ?

Voici 5 questions connexes :

1. Comment résout-on les limites de forme $\frac{0}{0}$ ?
2. Quelle est l'utilité de la technique du conjugué dans le calcul des limites ?
3. Pourquoi la forme $\frac{0}{0}$ est-elle considérée comme une indétermination ?
4. Comment calculer la dérivée d'une fonction avec des racines carrées ?
5. Que se passe-t-il si on ne peut pas éliminer une indétermination dans une limite ?

Astuce : Lorsque vous rencontrez une forme indéterminée, explorez les techniques comme la factorisation, l'utilisation du conjugué ou la règle de l'Hôpital pour simplifier l'expression.