Lim lorsque x tend vers 3 de racine de x+1 moins 2 sur x-3

Nous allons calculer la limite suivante :

\[
\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+1} - 2}{x - 3}
\]

À première vue, il semble que cette limite soit de la forme indéterminée \(\frac{0}{0}\). En effet, si nous évaluons directement en \(x = 3\) :

\[
\frac{\sqrt{3+1} - 2}{3 - 3} = \frac{\sqrt{4} - 2}{0} = \frac{2 - 2}{0} = \frac{0}{0}
\]

Pour résoudre cette indétermination, nous allons multiplier par le conjugué du numérateur. Le conjugué de \(\sqrt{x+1} - 2\) est \(\sqrt{x+1} + 2\). On multiplie donc le numérateur et le dénominateur par ce conjugué :

\[
\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+1} - 2}{x - 3} \times \frac{\sqrt{x+1} + 2}{\sqrt{x+1} + 2} = \lim_{x \to 3} \frac{(\sqrt{x+1})^2 - 2^2}{(x - 3)(\sqrt{x+1} + 2)}
\]

Cela simplifie le numérateur grâce à la différence de carrés :

\[
(\sqrt{x+1})^2 - 2^2 = (x + 1) - 4 = x - 3
\]

La limite devient alors :

\[
\lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{(x - 3)(\sqrt{x+1} + 2)}
\]

On peut maintenant simplifier par \(x - 3\) (tant que \(x \neq 3\)) :

\[
\lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt{x+1} + 2}
\]

En substituant \(x = 3\) dans l'expression, on obtient :

\[
\frac{1}{\sqrt{3+1} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}
\]

La limite recherchée est donc :

\[
\boxed{\frac{1}{4}}
\]

Souhaitez-vous plus de détails ou avez-vous des questions ?

Voici 5 questions connexes :
1. Comment résout-on les limites de forme \(\frac{0}{0}\) ?
2. Quelle est l'utilité de la technique du conjugué dans le calcul des limites ?
3. Pourquoi la forme \(\frac{0}{0}\) est-elle considérée comme une indétermination ?
4. Comment calculer la dérivée d'une fonction avec des racines carrées ?
5. Que se passe-t-il si on ne peut pas éliminer une indétermination dans une limite ?

**Astuce :** Lorsque vous rencontrez une forme indéterminée, explorez les techniques comme la factorisation, l'utilisation du conjugué ou la règle de l'Hôpital pour simplifier l'expression.

Learn how to solve the limit of (sqrt(x+1) - 2)/(x - 3) as x tends to 3 with a detailed solution. This problem involves using the conjugate method to eliminate indeterminate forms, focusing on limits and radical expressions. Suitable for students in Grades 11-12.

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