Kita diminta mencari limit berikut ini:

\[
\lim_{x \to 0} \frac{\cos(4x) - 1}{x - \tan(x)}
\]

Mari kita analisis dan selesaikan langkah demi langkah.

### 1. Substitusi Langsung
Jika kita substitusi \( x = 0 \) secara langsung, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu \( \frac{0}{0} \), karena:

\[
\cos(0) - 1 = 1 - 1 = 0
\]
dan
\[
0 - \tan(0) = 0 - 0 = 0
\]

Maka, kita harus menerapkan metode lain, seperti **L'Hôpital** atau melakukan ekspansi Taylor.

### 2. Menggunakan L'Hôpital
Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu \( \frac{0}{0} \), kita dapat menerapkan **Aturan L'Hôpital** dengan membedakan pembilang dan penyebut.

#### Pembilang: \( \cos(4x) - 1 \)
Turunan dari \( \cos(4x) \) adalah:

\[
\frac{d}{dx} (\cos(4x)) = -4\sin(4x)
\]

Jadi, turunan dari \( \cos(4x) - 1 \) adalah:

\[
\frac{d}{dx} (\cos(4x) - 1) = -4\sin(4x)
\]

#### Penyebut: \( x - \tan(x) \)
Turunan dari \( \tan(x) \) adalah \( \sec^2(x) \), jadi:

\[
\frac{d}{dx} (x - \tan(x)) = 1 - \sec^2(x)
\]

### 3. Menerapkan L'Hôpital
Sekarang, kita menerapkan aturan L'Hôpital:

\[
\lim_{x \to 0} \frac{-4\sin(4x)}{1 - \sec^2(x)}
\]

Untuk \( x \to 0 \), kita punya:

\[
\sin(4x) \to 0
\]
dan
\[
\sec^2(0) = 1 \quad \text{sehingga} \quad 1 - \sec^2(0) = 0
\]

Maka, kita mendapatkan bentuk tak tentu lagi. Dalam kasus ini, kita harus melakukan derivasi lagi.

### 4. Ekspansi Taylor
Jika kita menggunakan ekspansi Taylor untuk \( \cos(4x) \), kita peroleh:

\[
\cos(4x) \approx 1 - \frac{(4x)^2}{2}
\]
dan
\[
\tan(x) \approx x + \frac{x^3}{3}
\]

Sehingga, limit menjadi:

\[
\lim_{x \to 0} \frac{\left(1 - \frac{16x^2}{2}\right) - 1}{x - \left(x + \frac{x^3}{3}\right)}
\]

Sederhanakan:

\[
\lim_{x \to 0} \frac{-8x^2}{-\frac{x^3}{3}} = \lim_{x \to 0} \frac{24}{x} = 0
\]

Jadi, hasilnya adalah:

\[
\boxed{0}
\]

Apakah Anda ingin penjelasan lebih detail, atau ada pertanyaan lain terkait langkah-langkah ini?

Berikut adalah 5 soal terkait yang dapat Anda coba:
1. Hitung \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x - \sin(x)} \)
2. Hitung \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x) - 2x}{x^3} \)
3. Tentukan \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(5x) - 1}{x^2} \)
4. Selesaikan \( \lim_{x \to 0} \frac{x - \tan(x)}{x^3} \)
5. Hitung \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x^2} \)

**Tip:** Ekspansi Taylor adalah alat yang sangat berguna untuk menyederhanakan limit-limit tak tentu!

Explore a step-by-step solution to the limit problem \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(4x) - 1}{x - \tan(x)}\) using L'Hôpital's Rule and Taylor Series Expansion. This problem involves key calculus concepts, including indeterminate forms and higher-order expansions, making it ideal for undergraduate calculus students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation