Math Problem Statement
diberikan f(t) = jika t
Solution
Diberikan fungsi sebagai berikut:
\begin{cases} 2t^2 + 5 & \text{jika } t < 0, \\ \frac{1 - 3t^3}{1 - 4t + 5t^3} & \text{jika } t \geq 0. \end{cases}$$ Kita akan menghitung batas fungsi $$f(t)$$ ketika $$t \to -\infty$$ dan $$t \to +\infty$$. ### 1. $$\lim_{t \to -\infty} f(t)$$ Untuk $$t < 0$$, fungsi $$f(t) = 2t^2 + 5$$. $$\lim_{t \to -\infty} f(t) = \lim_{t \to -\infty} (2t^2 + 5).$$ Ketika $$t \to -\infty$$, $$t^2 \to \infty$$, sehingga: $$\lim_{t \to -\infty} (2t^2 + 5) = \infty.$$ Jadi, $$\lim_{t \to -\infty} f(t) = \infty$$. ### 2. $$\lim_{t \to +\infty} f(t)$$ Untuk $$t \geq 0$$, fungsi $$f(t) = \frac{1 - 3t^3}{1 - 4t + 5t^3}$$. Untuk menghitung batas ketika $$t \to +\infty$$, kita akan fokus pada suku dengan pangkat tertinggi dari $$t$$ di pembilang dan penyebut. Pada pembilang, suku terbesar adalah $$-3t^3$$, dan pada penyebut, suku terbesar adalah $$5t^3$$. Maka kita bisa mengekspresikan fungsi ini untuk $$t \to +\infty$$ sebagai: $$f(t) \approx \frac{-3t^3}{5t^3} = \frac{-3}{5}.$$ Jadi: $$\lim_{t \to +\infty} f(t) = \frac{-3}{5}.$$ ### Kesimpulan - $$\lim_{t \to -\infty} f(t) = \infty$$. - $$\lim_{t \to +\infty} f(t) = \frac{-3}{5}$$. Apakah Anda ingin penjelasan lebih detail atau memiliki pertanyaan lainnya? Berikut adalah beberapa pertanyaan lanjutan: 1. Bagaimana cara menghitung limit untuk fungsi yang lebih kompleks? 2. Apa peran suku dengan pangkat tertinggi dalam menghitung limit saat $$t \to \infty$$? 3. Bagaimana jika ada suku eksponensial di dalam fungsi? Bagaimana cara menghitung limitnya? 4. Apa perbedaan antara limit $$t \to -\infty$$ dan $$t \to +\infty$$ pada fungsi tertentu? 5. Bagaimana cara menyelesaikan limit jika terdapat pembagian antara fungsi-fungsi trigonometri? **Tip:** Dalam menghitung limit untuk $$t \to \infty$$, fokuskan perhatian pada suku dengan pangkat tertinggi dalam pembilang dan penyebut untuk menyederhanakan perhitungan.Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Limits
Polynomial Functions
Rational Functions
Formulas
Limit \(\lim_{t \to -\infty} f(t)\) for polynomial functions
Limit \(\lim_{t \to +\infty} f(t)\) for rational functions
Theorems
Limit theorem for polynomial growth
Limit of rational functions based on highest degree terms
Suitable Grade Level
Grades 11-12
Related Recommendation
Finding Limits of a Piecewise Function Involving Rational Functions
Determine Continuity of a Piecewise Function: f(t) = 48 + t^2 - (t^3/12)
Finding the Limit of a Piecewise Function to Model Population Growth
Evaluating Limits Involving Rational Functions as t -> ∞
Long Run Behavior of Polynomial Functions: f(t) = 4t^9 - 3t^8 - t^3 + 3