diberikan f(t) = $$ 2t^2+5\text{ jika t}<0,\text{ dan }\frac{1-3t^3}{1-4t+5t^3} $$ jika t$$ \ge0.\text{ Dapatkan }\lim_{x\rarr-\infty}f\left(t\right)\text{ dan }\lim_{x\rarr+\infty}f\left(t\right) $$

Diberikan fungsi $ f(t) $ sebagai berikut:

\[
f(t) =
\begin{cases}
2t^2 + 5 & \text{jika } t < 0, \\
\frac{1 - 3t^3}{1 - 4t + 5t^3} & \text{jika } t \geq 0.
\end{cases}
\]

Kita akan menghitung batas fungsi $ f(t) $ ketika $ t \to -\infty $ dan $ t \to +\infty $.

### 1. $\lim_{t \to -\infty} f(t)$
Untuk $ t < 0 $, fungsi $ f(t) = 2t^2 + 5 $. 

\[
\lim_{t \to -\infty} f(t) = \lim_{t \to -\infty} (2t^2 + 5).
\]

Ketika $ t \to -\infty $, $ t^2 \to \infty $, sehingga:

\[
\lim_{t \to -\infty} (2t^2 + 5) = \infty.
\]

Jadi, $\lim_{t \to -\infty} f(t) = \infty$.

### 2. $\lim_{t \to +\infty} f(t)$
Untuk $ t \geq 0 $, fungsi $ f(t) = \frac{1 - 3t^3}{1 - 4t + 5t^3} $. Untuk menghitung batas ketika $ t \to +\infty $, kita akan fokus pada suku dengan pangkat tertinggi dari $ t $ di pembilang dan penyebut.

Pada pembilang, suku terbesar adalah $ -3t^3 $, dan pada penyebut, suku terbesar adalah $ 5t^3 $. Maka kita bisa mengekspresikan fungsi ini untuk $ t \to +\infty $ sebagai:

\[
f(t) \approx \frac{-3t^3}{5t^3} = \frac{-3}{5}.
\]

Jadi:

\[
\lim_{t \to +\infty} f(t) = \frac{-3}{5}.
\]

### Kesimpulan
- $\lim_{t \to -\infty} f(t) = \infty$.
- $\lim_{t \to +\infty} f(t) = \frac{-3}{5}$.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih detail atau memiliki pertanyaan lainnya?

Berikut adalah beberapa pertanyaan lanjutan:
1. Bagaimana cara menghitung limit untuk fungsi yang lebih kompleks?
2. Apa peran suku dengan pangkat tertinggi dalam menghitung limit saat $ t \to \infty $?
3. Bagaimana jika ada suku eksponensial di dalam fungsi? Bagaimana cara menghitung limitnya?
4. Apa perbedaan antara limit $ t \to -\infty $ dan $ t \to +\infty $ pada fungsi tertentu?
5. Bagaimana cara menyelesaikan limit jika terdapat pembagian antara fungsi-fungsi trigonometri?

**Tip:** Dalam menghitung limit untuk $ t \to \infty $, fokuskan perhatian pada suku dengan pangkat tertinggi dalam pembilang dan penyebut untuk menyederhanakan perhitungan.

Diberikan f(t) = 2t^2+5 jika t < 0, dan $\frac{1-3t^3}{1-4t+5t^3}$ jika t $\ge0$. Dapatkan $\lim_{t\to-\infty}f(t)$ dan $\lim_{t\to+\infty}f(t)$.

Calculate the limits of the piecewise function f(t), involving polynomial and rational expressions, as t approaches negative and positive infinity. This problem explores limits, polynomial growth, and rational function behavior, suitable for students in Grades 11-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation