Определить значения следующих выражений:
(a) lim
𝑛→+∞
log2 𝑛
𝑛


Чтобы определить предел выражения

\[
\lim_{n \to +\infty} \frac{\log_2 n}{n},
\]

давайте рассмотрим, как изменяется числитель и знаменатель при \( n \to +\infty \).

### Шаг 1: Оценка роста числителя и знаменателя
1. Числитель \(\log_2 n\) растет очень медленно по сравнению с \(n\), поскольку логарифмическая функция увеличивается медленнее, чем линейная.
2. Знаменатель \(n\) растет гораздо быстрее, так как это линейная функция.

### Шаг 2: Применение правила Лопиталя
Так как и числитель, и знаменатель стремятся к бесконечности, мы можем применить правило Лопиталя:

\[
\lim_{n \to +\infty} \frac{\log_2 n}{n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{d}{dn}(\log_2 n)}{\frac{d}{dn}(n)}.
\]

### Шаг 3: Производные
1. Производная \(\log_2 n\) равна \(\frac{1}{n \ln 2}\).
2. Производная \(n\) равна \(1\).

Таким образом,

\[
\lim_{n \to +\infty} \frac{\log_2 n}{n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{1}{n \ln 2}}{1} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n \ln 2} = 0.
\]

### Ответ:
\[
\lim_{n \to +\infty} \frac{\log_2 n}{n} = 0.
\]

Таким образом, предел равен \(0\).

---
Хотите больше деталей по каждому шагу? 

**Связанные вопросы для углубления:**
1. Почему функция \(\log_2 n\) растет медленнее линейной функции \(n\)?
2. Как правило Лопиталя помогает находить пределы в форме \(\frac{\infty}{\infty}\)?
3. Как повлияет замена основания логарифма на итоговый результат?
4. Какие другие функции, кроме \(\log_2 n\), могут иметь аналогичное поведение при \( n \to +\infty \)?
5. В каких задачах полезен данный результат для анализа сходимости?

**Совет:** Для работы с пределами, где встречаются логарифмы и линейные функции, полезно помнить, что логарифмы растут медленнее любой линейной или полиномиальной функции при \( n \to +\infty \).

Определить значения следующих выражений: (a) lim 𝑛→+∞ log2 𝑛 / 𝑛

Learn how to calculate the limit of (log2 n) / n as n approaches infinity using L'Hospital's Rule. This problem explores the behavior of logarithmic functions compared to linear functions in limit calculations, suitable for advanced high school calculus students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation