我们来分析一下函数 $f(x) = \frac{\ln x}{1 - x^2}$ 在 $x = 1$ 处的意义。

步骤 1：分析分母

首先看分母部分 $1 - x^2$。当 $x = 1$ 时，分母变为： $1 - 1^2 = 1 - 1 = 0$ 所以，当 $x = 1$ 时，分母为 0，这意味着整个函数的值可能是没有意义的（即可能出现不定式）。

步骤 2：分析分子

接下来看分子部分 $\ln x$。当 $x = 1$ 时： $\ln(1) = 0$ 所以，分子在 $x = 1$ 时为 0。

步骤 3：使用洛必达法则

由于分子和分母都在 $x = 1$ 处为 0，我们可以尝试使用洛必达法则来解决这个不定式。洛必达法则适用于形式为 $\frac{0}{0}$ 的极限问题，方法是对分子和分母分别求导后再求极限。

对分子 $\ln x$ 求导得到： $\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$

对分母 $1 - x^2$ 求导得到： $\frac{d}{dx}(1 - x^2) = -2x$

根据洛必达法则，原极限可以转化为： $\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{1 - x^2} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{-2x}$ 当 $x = 1$ 时： $\frac{\frac{1}{1}}{-2(1)} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$

结论

根据洛必达法则，函数 $f(x) = \frac{\ln x}{1 - x^2}$ 在 $x = 1$ 处的极限存在，且等于 $-\frac{1}{2}$。因此，尽管函数在 $x = 1$ 处的分母为零，但通过洛必达法则，我们得到了一个有限值，所以在 $x = 1$ 这个点，函数是有意义的，其值为 $-\frac{1}{2}$。

额外信息

如果你有任何疑问或需要更详细的解释，请告诉我！

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5. 洛必达法则的适用条件和限制是什么？

提示：

在遇到形式为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 的极限时，考虑使用洛必达法则来简化计算。