Для того чтобы вычислить предел

$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{5n^2 - n + 8} - \sqrt{5n^2 - 10n - 4} \right),$

начнем с того, что будем упрощать выражения под квадратными корнями и работать с их разностью.

Шаг 1: Выделим $n^2$ из под корня

Для каждого из квадратных корней выделим $n^2$ за скобки:

$\sqrt{5n^2 - n + 8} = \sqrt{n^2\left(5 - \frac{1}{n} + \frac{8}{n^2}\right)} = n \sqrt{5 - \frac{1}{n} + \frac{8}{n^2}},$ $\sqrt{5n^2 - 10n - 4} = \sqrt{n^2\left(5 - \frac{10}{n} - \frac{4}{n^2}\right)} = n \sqrt{5 - \frac{10}{n} - \frac{4}{n^2}}.$

Шаг 2: Разность выражений

Теперь подставим эти выражения в исходную разность:

$n \sqrt{5 - \frac{1}{n} + \frac{8}{n^2}} - n \sqrt{5 - \frac{10}{n} - \frac{4}{n^2}}.$

Вынесем $n$ за скобки:

$n \left( \sqrt{5 - \frac{1}{n} + \frac{8}{n^2}} - \sqrt{5 - \frac{10}{n} - \frac{4}{n^2}} \right).$

Шаг 3: Применим разность квадратов

Чтобы упростить разность двух корней, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение:

$\left( \sqrt{5 - \frac{1}{n} + \frac{8}{n^2}} - \sqrt{5 - \frac{10}{n} - \frac{4}{n^2}} \right) = \frac{\left(5 - \frac{1}{n} + \frac{8}{n^2}\right) - \left(5 - \frac{10}{n} - \frac{4}{n^2}\right)}{\sqrt{5 - \frac{1}{n} + \frac{8}{n^2}} + \sqrt{5 - \frac{10}{n} - \frac{4}{n^2}}}.$

Упростим числитель:

$5 - \frac{1}{n} + \frac{8}{n^2} - 5 + \frac{10}{n} + \frac{4}{n^2} = \frac{9}{n} + \frac{12}{n^2}.$

Таким образом, выражение принимает вид:

$n \cdot \frac{\frac{9}{n} + \frac{12}{n^2}}{\sqrt{5 - \frac{1}{n} + \frac{8}{n^2}} + \sqrt{5 - \frac{10}{n} - \frac{4}{n^2}}}.$

Шаг 4: Упростим и вычислим предел

При $n \to \infty$ члены с $\frac{1}{n}$ и $\frac{1}{n^2}$ становятся очень маленькими, и мы можем использовать приближенное выражение для корней:

$\sqrt{5 - \frac{1}{n} + \frac{8}{n^2}} \approx \sqrt{5} \quad \text{и} \quad \sqrt{5 - \frac{10}{n} - \frac{4}{n^2}} \approx \sqrt{5}.$

Тогда знаменатель будет приближаться к $2\sqrt{5}$, и выражение примет вид:

$n \cdot \frac{\frac{9}{n} + \frac{12}{n^2}}{2\sqrt{5}}.$

Упростим числитель:

\frac{9}{n} + \frac{12}{n^2} \approx \frac{9}{n} \quad \text{при больших n}.

Теперь получаем:

$n \cdot \frac{\frac{9}{n}}{2\sqrt{5}} = \frac{9}{2\sqrt{5}}.$

Ответ:

$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{5n^2 - n + 8} - \sqrt{5n^2 - 10n - 4} \right) = \frac{9}{2\sqrt{5}}.$

Хотите узнать больше о методах упрощения таких выражений или есть другие вопросы по математическому анализу?

1. Каковы основные методы для упрощения выражений с квадратными корнями?
2. Что такое разность квадратов и как она применяется в вычислениях?
3. Как приблизить выражения для больших $n$ в анализе пределов?
4. Чем полезны разложения на серии в математическом анализе?
5. Как правильно подходить к пределам с разностями и дробями?

Совет: Для сложных пределов часто помогает выделение общего множителя и упрощение числителя и знаменателя, что позволяет уменьшить количество радикалов в выражении.