Kita akan mencari limit dari fungsi:

$\lim_{x \to \infty} \left( 3x - 2 - \sqrt{9x^2 - 5x + 3} \right)$

Langkah 1: Faktor utama dari ekspresi

Ketika $x$ mendekati tak hingga, kita fokus pada suku-suku dengan $x^2$ di dalam akar dan suku linier di luar akar. Secara intuitif, $\sqrt{9x^2 - 5x + 3}$ akan mendekati $\sqrt{9x^2} = 3x$ untuk $x$ yang sangat besar.

Langkah 2: Manipulasi bentuk

Mari kita coba menguraikan ekspresi agar lebih mudah dihitung. Kita bisa menyederhanakan limit ini dengan mengalikan dan membagi ekspresi dengan konjugatnya, yaitu:

$\lim_{x \to \infty} \left( 3x - 2 - \sqrt{9x^2 - 5x + 3} \right) \times \frac{3x - 2 + \sqrt{9x^2 - 5x + 3}}{3x - 2 + \sqrt{9x^2 - 5x + 3}}$

Ini bertujuan untuk menghilangkan akar pada ekspresi di penyebut. Kita dapat menggunakan identitas aljabar:

$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

dimana $a = 3x - 2$ dan $b = \sqrt{9x^2 - 5x + 3}$.

Langkah 3: Hitung hasilnya

Dengan menerapkan identitas ini, kita mendapatkan:

$\lim_{x \to \infty} \frac{(3x - 2)^2 - (9x^2 - 5x + 3)}{3x - 2 + \sqrt{9x^2 - 5x + 3}}$

Sekarang, hitung pembilangnya:

$(3x - 2)^2 = 9x^2 - 12x + 4$

Sehingga, pembilangnya menjadi:

$(9x^2 - 12x + 4) - (9x^2 - 5x + 3) = 9x^2 - 12x + 4 - 9x^2 + 5x - 3 = -7x + 1$

Jadi limitnya berubah menjadi:

$\lim_{x \to \infty} \frac{-7x + 1}{3x - 2 + \sqrt{9x^2 - 5x + 3}}$

Langkah 4: Analisis asimtotik

Sekarang kita fokus pada penyebut:

$3x - 2 + \sqrt{9x^2 - 5x + 3} \approx 3x + 3x = 6x \quad \text{untuk } x \to \infty$

Sehingga, limitnya menjadi:

$\lim_{x \to \infty} \frac{-7x + 1}{6x}$

Yang mana dapat disederhanakan menjadi:

$\lim_{x \to \infty} \frac{-7x}{6x} = -\frac{7}{6}$

Jawaban akhir:

$\lim_{x \to \infty} \left( 3x - 2 - \sqrt{9x^2 - 5x + 3} \right) = -\frac{7}{6}$

Apakah Anda ingin detail lebih lanjut atau ada pertanyaan?

Berikut 5 pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara menemukan limit dari fungsi dengan bentuk akar lainnya?
2. Apa peran konjugat dalam menyelesaikan limit dengan akar?
3. Mengapa hanya memperhatikan suku-suku terbesar saat $x$ mendekati tak hingga?
4. Bagaimana menyederhanakan limit dengan akar kuadrat tanpa konjugat?
5. Bagaimana mengatasi limit fungsi yang mendekati nilai selain tak hingga?

Tip: Saat mencari limit, menyederhanakan ekspresi dengan konjugat sering kali membantu menghilangkan bentuk akar yang rumit.