Limit x mendekati ketakhinggan (3x-2-√9x²-5x+3)

Kita akan mencari limit dari fungsi:

\[
\lim_{x \to \infty} \left( 3x - 2 - \sqrt{9x^2 - 5x + 3} \right)
\]

### Langkah 1: Faktor utama dari ekspresi
Ketika \(x\) mendekati tak hingga, kita fokus pada suku-suku dengan \(x^2\) di dalam akar dan suku linier di luar akar. Secara intuitif, \( \sqrt{9x^2 - 5x + 3} \) akan mendekati \( \sqrt{9x^2} = 3x \) untuk \(x\) yang sangat besar.

### Langkah 2: Manipulasi bentuk
Mari kita coba menguraikan ekspresi agar lebih mudah dihitung. Kita bisa menyederhanakan limit ini dengan mengalikan dan membagi ekspresi dengan konjugatnya, yaitu:

\[
\lim_{x \to \infty} \left( 3x - 2 - \sqrt{9x^2 - 5x + 3} \right) \times \frac{3x - 2 + \sqrt{9x^2 - 5x + 3}}{3x - 2 + \sqrt{9x^2 - 5x + 3}}
\]

Ini bertujuan untuk menghilangkan akar pada ekspresi di penyebut. Kita dapat menggunakan identitas aljabar:

\[
(a - b)(a + b) = a^2 - b^2
\]

dimana \(a = 3x - 2\) dan \(b = \sqrt{9x^2 - 5x + 3}\).

### Langkah 3: Hitung hasilnya
Dengan menerapkan identitas ini, kita mendapatkan:

\[
\lim_{x \to \infty} \frac{(3x - 2)^2 - (9x^2 - 5x + 3)}{3x - 2 + \sqrt{9x^2 - 5x + 3}}
\]

Sekarang, hitung pembilangnya:

\[
(3x - 2)^2 = 9x^2 - 12x + 4
\]

Sehingga, pembilangnya menjadi:

\[
(9x^2 - 12x + 4) - (9x^2 - 5x + 3) = 9x^2 - 12x + 4 - 9x^2 + 5x - 3 = -7x + 1
\]

Jadi limitnya berubah menjadi:

\[
\lim_{x \to \infty} \frac{-7x + 1}{3x - 2 + \sqrt{9x^2 - 5x + 3}}
\]

### Langkah 4: Analisis asimtotik
Sekarang kita fokus pada penyebut:

\[
3x - 2 + \sqrt{9x^2 - 5x + 3} \approx 3x + 3x = 6x \quad \text{untuk } x \to \infty
\]

Sehingga, limitnya menjadi:

\[
\lim_{x \to \infty} \frac{-7x + 1}{6x}
\]

Yang mana dapat disederhanakan menjadi:

\[
\lim_{x \to \infty} \frac{-7x}{6x} = -\frac{7}{6}
\]

### Jawaban akhir:
\[
\lim_{x \to \infty} \left( 3x - 2 - \sqrt{9x^2 - 5x + 3} \right) = -\frac{7}{6}
\]

Apakah Anda ingin detail lebih lanjut atau ada pertanyaan?

Berikut 5 pertanyaan terkait:
1. Bagaimana cara menemukan limit dari fungsi dengan bentuk akar lainnya?
2. Apa peran konjugat dalam menyelesaikan limit dengan akar?
3. Mengapa hanya memperhatikan suku-suku terbesar saat \(x\) mendekati tak hingga?
4. Bagaimana menyederhanakan limit dengan akar kuadrat tanpa konjugat?
5. Bagaimana mengatasi limit fungsi yang mendekati nilai selain tak hingga?

**Tip**: Saat mencari limit, menyederhanakan ekspresi dengan konjugat sering kali membantu menghilangkan bentuk akar yang rumit.

Limit x mendekati ketakhinggan (3x - 2 - √9x² - 5x + 3)

Explore how to calculate the limit of the expression (3x - 2 - √9x² - 5x + 3) as x approaches infinity using algebraic manipulation and asymptotic analysis. The solution includes key steps such as using conjugates and asymptotic approximations. This problem is suitable for advanced high school or university-level students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation