Дан равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС). Точка О- центр вписанной в треугольник окружности, делит высоту ВД в отноше- нии ВО:ОD=3 1.Найти ВD, если АС= 4корня из 2

Давайте решим задачу.

Дан равнобедренный треугольник \(ABC\) с \(AB = BC\). Пусть \(D\) - основание высоты \(BD\), которая проведена из вершины \(B\) на сторону \(AC\). Точка \(O\) является центром вписанной окружности, и она делит высоту \(BD\) в отношении \(BO:OD = 3:1\). Также известно, что \(AC = 4\sqrt{2}\).

### 1. Найдем длину высоты \(BD\):

Пусть длина высоты \(BD = h\). Так как \(BO:OD = 3:1\), это означает, что \(BO = \frac{3}{4}h\) и \(OD = \frac{1}{4}h\).

### 2. Найдем стороны треугольника:

Так как \(AC\) является основанием равнобедренного треугольника, и \(BD\) является перпендикулярной высотой, то \(BD\) делит основание \(AC\) пополам. Тогда:
\[
AD = DC = \frac{AC}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}
\]

### 3. Применение теоремы Пифагора:

В прямоугольном треугольнике \(ABD\) (или \(BDC\)):
\[
AB^2 = AD^2 + BD^2
\]
\[
AB^2 = (2\sqrt{2})^2 + h^2 = 8 + h^2
\]
Пусть \(AB = x\). Тогда \(x^2 = 8 + h^2\).

### 4. Радиус вписанной окружности:

Радиус вписанной окружности \(r\) можно выразить через площадь треугольника и полупериметр:
\[
r = \frac{S}{p}
\]
где \(S\) - площадь треугольника, а \(p\) - его полупериметр.

Площадь треугольника \(S\) можно выразить через основание и высоту:
\[
S = \frac{1}{2} \times AC \times h = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{2} \times h = 2\sqrt{2} \times h
\]
Полупериметр треугольника:
\[
p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{2x + 4\sqrt{2}}{2} = x + 2\sqrt{2}
\]

Тогда радиус:
\[
r = \frac{2\sqrt{2} \times h}{x + 2\sqrt{2}}
\]

### 5. Выражение через высоту \(h\):

Так как \(O\) делит \(BD\) в отношении \(3:1\), и \(OD = \frac{h}{4}\), то радиус \(r\) также равен \(OD\). Следовательно:
\[
\frac{2\sqrt{2} \times h}{x + 2\sqrt{2}} = \frac{h}{4}
\]

Упростим это уравнение:
\[
8\sqrt{2} \times h = h \times (x + 2\sqrt{2})
\]
\[
8\sqrt{2} = x + 2\sqrt{2}
\]
\[
x = 8\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}
\]

Теперь подставим \(x = 6\sqrt{2}\) в уравнение:
\[
(6\sqrt{2})^2 = 8 + h^2
\]
\[
72 = 8 + h^2
\]
\[
h^2 = 64
\]
\[
h = 8
\]

### Ответ:
Высота \(BD\) равна 8.

---

Хотите более подробное объяснение или есть другие вопросы? 

**Вопросы:**
1. Как найти площадь треугольника через стороны?
2. Как рассчитать радиус вписанной окружности?
3. Какие свойства равнобедренного треугольника вам известны?
4. Какую роль играют отношения отрезков в решении задач?
5. Каковы особенности работы с корнями в геометрических задачах?

**Совет:** Всегда проверяйте конечные вычисления, подставляя их в изначальные уравнения, чтобы убедиться в правильности решения.

Explore the solution to a math problem involving an isosceles triangle ABC with AB = BC, where point O is the incenter dividing the height BD in a 3:1 ratio. Includes step-by-step calculations using geometric properties and theorems. Suitable for Grades 9-12 students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation