Math Problem Statement
Leiten Sie Formeln fu ̈r die Umkehrfunktionen arcosh und arsinh her. Was sind die Defini- tionsbereiche?
Solution
Umkehrfunktionen von und :
1. Herleitung der Umkehrfunktion :
Die Funktion ist definiert als: Um die Umkehrfunktion herzuleiten, setzen wir : Multiplizieren mit 2: Umstellen nach : Setzen wir , dann gilt . Multiplizieren mit , um die Gleichung zu lösen: Das ist eine quadratische Gleichung in , die mit der Mitternachtsformel gelöst wird: Da , wählen wir das positive Vorzeichen: Somit ist: Nehmen wir den natürlichen Logarithmus: Das ist die Umkehrfunktion:
Definitionsbereich von : \mathbb{D}(\text{arsinh}) = \mathbb{R}, \text{ da die Wurzel x^2 + 1x \in \mathbb{R} definiert ist.}
2. Herleitung der Umkehrfunktion :
Die Funktion ist definiert als: Um die Umkehrfunktion herzuleiten, setzen wir : Multiplizieren mit 2: Umstellen nach : Setzen wir , dann gilt . Multiplizieren mit , um die Gleichung zu lösen: Das ist eine quadratische Gleichung in , die mit der Mitternachtsformel gelöst wird: Da , wählen wir das positive Vorzeichen: Somit ist: Nehmen wir den natürlichen Logarithmus: Das ist die Umkehrfunktion:
Definitionsbereich von : \mathbb{D}(\text{arcosh}) = [1, \infty), \text{ da x^2 - 1x \geq 1 nicht-negativ ist.}
Ergebnisse:
- , .
- , .
Möchten Sie weitere Details oder haben Sie Fragen?
Hier sind 5 weiterführende Fragen, die interessant sein könnten:
- Wie lassen sich die Ableitungen von und berechnen?
- Was sind die Eigenschaften der Hyperbelfunktionen im Vergleich zu trigonometrischen Funktionen?
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- Wie lassen sich und in der Physik oder Technik verwenden?
Tipp: Die Hyperbelfunktionen werden oft in der Beschreibung von Hängeseilen (Kettenlinien) und exponentiellem Wachstum verwendet.
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Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Hyperbolic Functions
Inverse Functions
Logarithmic Functions
Formulas
arsinh(x) = ln(x + √(x^2 + 1))
arcosh(x) = ln(x + √(x^2 - 1))
Theorems
Properties of Hyperbolic Functions
Properties of Logarithmic Functions
Suitable Grade Level
Undergraduate
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