Math Problem Statement

Leiten Sie Formeln fu ̈r die Umkehrfunktionen arcosh und arsinh her. Was sind die Defini- tionsbereiche?

Solution

Umkehrfunktionen von arcosh(x)\text{arcosh}(x) und arsinh(x)\text{arsinh}(x):


1. Herleitung der Umkehrfunktion arsinh(x)\text{arsinh}(x):

Die Funktion sinh(x)\text{sinh}(x) ist definiert als: sinh(x)=exex2.\text{sinh}(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}. Um die Umkehrfunktion arsinh(x)\text{arsinh}(x) herzuleiten, setzen wir y=sinh(x)y = \text{sinh}(x): y=exex2.y = \frac{e^x - e^{-x}}{2}. Multiplizieren mit 2: 2y=exex.2y = e^x - e^{-x}. Umstellen nach exe^x: ex1ex=2y.e^x - \frac{1}{e^x} = 2y. Setzen wir z=exz = e^x, dann gilt z1z=2yz - \frac{1}{z} = 2y. Multiplizieren mit zz, um die Gleichung zu lösen: z22yz1=0.z^2 - 2yz - 1 = 0. Das ist eine quadratische Gleichung in zz, die mit der Mitternachtsformel gelöst wird: z=2y±(2y)2+42.z = \frac{2y \pm \sqrt{(2y)^2 + 4}}{2}. Da z=ex>0z = e^x > 0, wählen wir das positive Vorzeichen: z=y+y2+1.z = y + \sqrt{y^2 + 1}. Somit ist: ex=y+y2+1.e^x = y + \sqrt{y^2 + 1}. Nehmen wir den natürlichen Logarithmus: x=ln(y+y2+1).x = \ln\left(y + \sqrt{y^2 + 1}\right). Das ist die Umkehrfunktion: arsinh(x)=ln(x+x2+1).\text{arsinh}(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right).

Definitionsbereich von arsinh(x)\text{arsinh}(x): \mathbb{D}(\text{arsinh}) = \mathbb{R}, \text{ da die Wurzel x^2 + 1fu¨rallefür allex \in \mathbb{R} definiert ist.}


2. Herleitung der Umkehrfunktion arcosh(x)\text{arcosh}(x):

Die Funktion cosh(x)\text{cosh}(x) ist definiert als: cosh(x)=ex+ex2.\text{cosh}(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}. Um die Umkehrfunktion arcosh(x)\text{arcosh}(x) herzuleiten, setzen wir y=cosh(x)y = \text{cosh}(x): y=ex+ex2.y = \frac{e^x + e^{-x}}{2}. Multiplizieren mit 2: 2y=ex+ex.2y = e^x + e^{-x}. Umstellen nach exe^x: ex+1ex=2y.e^x + \frac{1}{e^x} = 2y. Setzen wir z=exz = e^x, dann gilt z+1z=2yz + \frac{1}{z} = 2y. Multiplizieren mit zz, um die Gleichung zu lösen: z22yz+1=0.z^2 - 2yz + 1 = 0. Das ist eine quadratische Gleichung in zz, die mit der Mitternachtsformel gelöst wird: z=2y±(2y)242.z = \frac{2y \pm \sqrt{(2y)^2 - 4}}{2}. Da z=ex>0z = e^x > 0, wählen wir das positive Vorzeichen: z=y+y21.z = y + \sqrt{y^2 - 1}. Somit ist: ex=y+y21.e^x = y + \sqrt{y^2 - 1}. Nehmen wir den natürlichen Logarithmus: x=ln(y+y21).x = \ln\left(y + \sqrt{y^2 - 1}\right). Das ist die Umkehrfunktion: arcosh(x)=ln(x+x21).\text{arcosh}(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right).

Definitionsbereich von arcosh(x)\text{arcosh}(x): \mathbb{D}(\text{arcosh}) = [1, \infty), \text{ da x^2 - 1nurfu¨rnur fürx \geq 1 nicht-negativ ist.}


Ergebnisse:

  1. arsinh(x)=ln(x+x2+1)\text{arsinh}(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right), D=R\mathbb{D} = \mathbb{R}.
  2. arcosh(x)=ln(x+x21)\text{arcosh}(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right), D=[1,)\mathbb{D} = [1, \infty).

Möchten Sie weitere Details oder haben Sie Fragen?

Hier sind 5 weiterführende Fragen, die interessant sein könnten:

  1. Wie lassen sich die Ableitungen von arsinh(x)\text{arsinh}(x) und arcosh(x)\text{arcosh}(x) berechnen?
  2. Was sind die Eigenschaften der Hyperbelfunktionen im Vergleich zu trigonometrischen Funktionen?
  3. Wie verhalten sich die Graphen von arsinh(x)\text{arsinh}(x) und arcosh(x)\text{arcosh}(x)?
  4. Kann man ähnliche Herleitungen für andere Umkehrfunktionen wie artanh(x)\text{artanh}(x) durchführen?
  5. Wie lassen sich arsinh(x)\text{arsinh}(x) und arcosh(x)\text{arcosh}(x) in der Physik oder Technik verwenden?

Tipp: Die Hyperbelfunktionen werden oft in der Beschreibung von Hängeseilen (Kettenlinien) und exponentiellem Wachstum verwendet.

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Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Hyperbolic Functions
Inverse Functions
Logarithmic Functions

Formulas

arsinh(x) = ln(x + √(x^2 + 1))
arcosh(x) = ln(x + √(x^2 - 1))

Theorems

Properties of Hyperbolic Functions
Properties of Logarithmic Functions

Suitable Grade Level

Undergraduate