**Derivata** är en grundläggande operation inom matematiken, specifikt inom analysen, och beskriver förändringshastigheten hos en funktion. Med andra ord talar derivatan om hur snabbt en funktion ändras vid varje punkt.

Om \( f(x) \) är en funktion, så är derivatan av \( f \) med avseende på \( x \), betecknad som \( f'(x) \) eller \( \frac{d}{dx}f(x) \), den hastighet med vilken \( f \) förändras när \( x \) förändras.

### Vanliga regler för derivator:
1. **Konstantregel**: 
   \[
   \frac{d}{dx}(c) = 0 \quad \text{där} \, c \, \text{är en konstant.}
   \]

2. **Potensregel**: 
   \[
   \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}
   \]

3. **Summaregel**: 
   \[
   \frac{d}{dx}(f(x) + g(x)) = f'(x) + g'(x)
   \]

4. **Produktregel**: 
   \[
   \frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
   \]

5. **Kvotregel**: 
   \[
   \frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2} \quad \text{där} \, g(x) \neq 0
   \]

6. **Kedjeregeln**: 
   Om \( f \) är en sammansatt funktion \( f(g(x)) \), gäller:
   \[
   \frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)
   \]

### Exempel: Derivatan av \( f(x) = x^2 \)
Använd potensregeln:
\[
\frac{d}{dx}(x^2) = 2x
\]

### Exempel: Derivatan av \( f(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \)
Använd produktregeln och trigonometriska identiteter:
\[
\frac{d}{dx}[\sin(x)\cos(x)] = \cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos(2x)
\]

Har du några specifika frågor eller vill du gå djupare i något ämne?

### Relaterade frågor:
1. Hur använder man derivatan för att hitta en funktions lokala maximi- och minimipunkter?
2. Vad är andraderivatan och vad betyder den geometriskt?
3. Hur beräknar

Understand the concept of derivatives and explore key differentiation rules such as the constant, power, sum, product, quotient, and chain rules. Learn with examples suitable for Grades 10-12 students studying calculus.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation