Derivata är en grundläggande operation inom matematiken, specifikt inom analysen, och beskriver förändringshastigheten hos en funktion. Med andra ord talar derivatan om hur snabbt en funktion ändras vid varje punkt.

Om $f(x)$ är en funktion, så är derivatan av $f$ med avseende på $x$, betecknad som $f'(x)$ eller $\frac{d}{dx}f(x)$, den hastighet med vilken $f$ förändras när $x$ förändras.

Vanliga regler för derivator:

1. Konstantregel: $\frac{d}{dx}(c) = 0 \quad \text{där} \, c \, \text{är en konstant.}$

2. Potensregel: $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$

3. Summaregel: $\frac{d}{dx}(f(x) + g(x)) = f'(x) + g'(x)$

4. Produktregel: $\frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

5. Kvotregel: $\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2} \quad \text{där} \, g(x) \neq 0$

6. Kedjeregeln: Om $f$ är en sammansatt funktion $f(g(x))$, gäller: $\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Exempel: Derivatan av $f(x) = x^2$

Använd potensregeln: $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$

Exempel: Derivatan av $f(x) = \sin(x) \cdot \cos(x)$

Använd produktregeln och trigonometriska identiteter: $\frac{d}{dx}[\sin(x)\cos(x)] = \cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos(2x)$

Har du några specifika frågor eller vill du gå djupare i något ämne?

Relaterade frågor:

1. Hur använder man derivatan för att hitta en funktions lokala maximi- och minimipunkter?
2. Vad är andraderivatan och vad betyder den geometriskt?
3. Hur beräknar