Ermittle die Schnittpunkte der folgenden Funktionen und entscheide, ob ein Berührpunkt oder ein einfacher Schnittpunkt vorliegt. (Dabei soll keine Differentialrechnung verwendet werden, sonder die Vielfachheit der Nullstellen): f(x)=x^3-x^2-x-1 und g(x)=x^4+x^3-3x+1

Um die Schnittpunkte der Funktionen \( f(x) = x^3 - x^2 - x - 1 \) und \( g(x) = x^4 + x^3 - 3x + 1 \) zu ermitteln, setzen wir beide Funktionen gleich und untersuchen die resultierende Gleichung auf Nullstellen:

\[
f(x) = g(x)
\]

Das bedeutet:

\[
x^3 - x^2 - x - 1 = x^4 + x^3 - 3x + 1
\]

Um diese Gleichung zu vereinfachen, bringen wir alle Terme auf eine Seite:

\[
0 = x^4 + x^3 - 3x + 1 - (x^3 - x^2 - x - 1)
\]

Das vereinfacht sich zu:

\[
0 = x^4 + x^3 - 3x + 1 - x^3 + x^2 + x + 1
\]

\[
0 = x^4 + x^2 - 2x + 2
\]

Wir müssen nun die Nullstellen dieser Funktion \( h(x) = x^4 + x^2 - 2x + 2 \) bestimmen. Eine Nullstelle von \( h(x) \) ist ein \( x \)-Wert, bei dem \( h(x) = 0 \).

### Bestimmung der Nullstellen
Um die Nullstellen ohne Differentialrechnung zu bestimmen, können wir versuchen, mögliche rationale Nullstellen durch Raten zu finden (etwa durch den Satz von Vieta oder das Einsetzen von Kandidaten wie \( x = \pm 1, \pm 2 \)). Einsetzen dieser Werte in \( h(x) \) liefert:

- Für \( x = 1 \): \( h(1) = 1^4 + 1^2 - 2(1) + 2 = 1 + 1 - 2 + 2 = 2 \) (kein Nullpunkt)
- Für \( x = -1 \): \( h(-1) = (-1)^4 + (-1)^2 - 2(-1) + 2 = 1 + 1 + 2 + 2 = 6 \) (kein Nullpunkt)
- Für \( x = 2 \): \( h(2) = 2^4 + 2^2 - 2(2) + 2 = 16 + 4 - 4 + 2 = 18 \) (kein Nullpunkt)
- Für \( x = -2 \): \( h(-2) = (-2)^4 + (-2)^2 - 2(-2) + 2 = 16 + 4 + 4 + 2 = 26 \) (kein Nullpunkt)
- Für \( x = 0 \): \( h(0) = 0^4 + 0^2 - 2(0) + 2 = 2 \) (kein Nullpunkt)

Da wir keine rationale Nullstelle finden konnten, ist es wahrscheinlich, dass die Gleichung keine einfachen Nullstellen im Bereich der ganzen Zahlen hat. 

### Vielfachheit der Nullstellen
Da \( h(x) \) keine offensichtlichen rationalen Nullstellen hat, kann dies darauf hindeuten, dass entweder keine Nullstellen existieren oder die Nullstellen komplex sind. Daher liegt **kein Berührpunkt** vor, sondern es könnte sich um **keine Schnittpunkte** oder **komplexe Schnittpunkte** handeln.

Möchtest du Details zu den möglichen komplexen Nullstellen oder hast du eine andere Frage?

### Weiterführende Fragen:
1. Wie bestimmt man komplexe Nullstellen von Polynomen höheren Grades?
2. Was bedeutet die Vielfachheit einer Nullstelle in Bezug auf den Graphen einer Funktion?
3. Welche Rolle spielt die Symmetrie in Polynomen für die Lage der Nullstellen?
4. Wie beeinflusst der Grad eines Polynoms die Anzahl der möglichen Schnittpunkte?
5. Kann man den Verlauf von \( h(x) = x^4 + x^2 - 2x + 2 \) skizzieren, um eine visuelle Bestimmung der Schnittpunkte zu ermöglichen?

**Tipp:** Wenn eine Funktion keine rationale Nullstelle besitzt, könnten ihre Nullstellen komplex sein, was eine Untersuchung mit komplexen Zahlen erforderlich macht.

Ermittle die Schnittpunkte der folgenden Funktionen und entscheide, ob ein Berührpunkt oder ein einfacher Schnittpunkt vorliegt. (Dabei soll keine Differentialrechnung verwendet werden, sondern die Vielfachheit der Nullstellen): f(x)=x^3-x^2-x-1 und g(x)=x^4+x^3-3x+1

Explore how to determine the intersections of the functions f(x)=x^3-x^2-x-1 and g(x)=x^4+x^3-3x+1 by solving for their common points without using calculus. Understand the multiplicity of roots and the behavior of polynomial functions. Suitable for high school students in Grades 10-12.

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