Soal yang diberikan meminta kita untuk membuktikan bahwa jika $H$ dan $K$ adalah subgrup normal dari suatu grup $G$, maka perpotongan $H \cap K$ juga merupakan subgrup normal dari $G$.

Berikut adalah bukti menggunakan Teorema Subgrup (Pernyataan Kedua) seperti yang diminta:

Diberikan:

1. $H$ dan $K$ adalah subgrup normal di $G$, artinya $H \triangleleft G$ dan $K \triangleleft G$, yang menyiratkan:
   • $gHg^{-1} = H$ untuk setiap $g \in G$
   • $gKg^{-1} = K$ untuk setiap $g \in G$
2. Kita perlu membuktikan bahwa $H \cap K \triangleleft G$, yaitu bahwa $g(H \cap K)g^{-1} = H \cap K$ untuk setiap $g \in G$.

Bukti:

1. Ambil sembarang $g \in G$ dan $x \in H \cap K$. Maka, $x \in H$ dan $x \in K$, karena perpotongan subgrup berisi elemen-elemen yang ada di kedua subgrup.

2. Karena $H \triangleleft G$, kita tahu bahwa $gxg^{-1} \in H$ (dari definisi normalitas $H$).

3. Karena $K \triangleleft G$, kita juga tahu bahwa $gxg^{-1} \in K$ (dari definisi normalitas $K$).

4. Maka, $gxg^{-1} \in H \cap K$, karena $gxg^{-1} \in H$ dan $gxg^{-1} \in K$.

5. Karena $x$ dipilih sembarang dari $H \cap K$, maka ini berlaku untuk setiap $x \in H \cap K$. Oleh karena itu, $g(H \cap K)g^{-1} \subseteq H \cap K$.

6. Akhirnya, karena $g$ dipilih sembarang dari $G$, kita dapat menyimpulkan bahwa $H \cap K \triangleleft G$, atau dengan kata lain, $H \cap K$ adalah subgrup normal di $G$.

Kesimpulan:

Perpotongan dua subgrup normal $H$ dan $K$ dari $G$, yaitu $H \cap K$, juga merupakan subgrup normal dari $G$.

Apakah ada bagian dari penjelasan ini yang ingin Anda tanyakan lebih lanjut? Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait untuk membantu pemahaman Anda lebih dalam:

1. Apa perbedaan antara subgrup normal dan subgrup biasa?
2. Bagaimana cara memastikan bahwa suatu subgrup adalah normal dalam sebuah grup?
3. Apa pentingnya perpotongan dua subgrup normal?
4. Apakah ada sifat lain dari perpotongan subgrup selain normalitas?
5. Bagaimana contoh konkret dari dua subgrup normal dalam sebuah grup tertentu?

Tip: Jika dua subgrup $H$ dan $K$ adalah normal, perpotongan mereka juga normal, tapi hasil operasi gabungan seperti $H \cup K$ belum tentu membentuk subgrup.