لحساب التكامل:

$\int \sqrt{3x + 4} \, dx$

الحل:

نستخدم التعويض لجعل المسألة أكثر بساطة. نفرض: $u = 3x + 4 \implies \frac{du}{dx} = 3 \implies dx = \frac{du}{3}.$

بتعويض $u$ في التكامل: $\int \sqrt{3x + 4} \, dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int u^{1/2} \, du.$

نطبق قاعدة التكامل: $\int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$

مع $n = \frac{1}{2}$: $\frac{1}{3} \int u^{1/2} \, du = \frac{1}{3} \cdot \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C = \frac{2}{9} u^{3/2} + C.$

نرجع إلى $u = 3x + 4$: $\int \sqrt{3x + 4} \, dx = \frac{2}{9} (3x + 4)^{3/2} + C.$

النتيجة النهائية:

$\int \sqrt{3x + 4} \, dx = \frac{2}{9} (3x + 4)^{3/2} + C.$

---

هل تريد المزيد من التوضيح أو المساعدة في خطوة معينة؟ 😊

أسئلة ذات صلة:

1. ما هي قاعدة التكامل الأساسية المستخدمة لحساب هذا النوع من التكامل؟
2. كيف يمكن حل التكامل باستخدام طرق أخرى (مثل التبسيط الجبري إن أمكن)؟
3. كيف تؤثر الثوابت داخل الجذر على الحل؟
4. ماذا يحدث لو كان التكامل محددًا (مع حدود)؟
5. كيف يمكن التحقق من الحل عن طريق الاشتقاق؟

نصيحة:

عند استخدام التعويض، تأكد دائمًا من استبدال كل من $x$ و$dx$ بالكامل لتجنب الأخطاء.