Exercicel
Un particulier a ouvert le 1janvier 2000 un compte rémunéré au taux annuel de 6a.le 1
janvier 2002, il a déposé 4 000 000Ar supplémentaires sur son compte. Le 1" janvier 2003.il
a retiré 2 000 000 Ar. Le 31 décembre 2004, i1 dispose de 9 207990 Ar.
Combien avait-il déposé sur son comnte d'éparene au moment de son ouverture ?

Pour résoudre ce problème, nous devons déterminer combien d'argent a été déposé au moment de l'ouverture du compte, le 1er janvier 2000, en utilisant les informations fournies.

### Données :

- Taux d'intérêt annuel : 6% (ou 0,06).
- Dépôt initial à trouver.
- 1er janvier 2002 : dépôt supplémentaire de 4 000 000 Ar.
- 1er janvier 2003 : retrait de 2 000 000 Ar.
- Le 31 décembre 2004 : solde final de 9 207 990 Ar.

### Étapes de résolution :

1. **Calculer le capital au 1er janvier 2002 :**
   - Supposons que le dépôt initial soit \( x \) Ar.
   - Entre 2000 et 2002, il y a 2 ans, donc le capital accumulé avec le taux de 6% par an sera :
     \[
     x \times (1 + 0,06)^2 = x \times 1,1236.
     \]
     Ce montant sera le capital juste avant le dépôt supplémentaire de 4 000 000 Ar.

2. **Ajouter le dépôt supplémentaire :**
   Le 1er janvier 2002, il dépose 4 000 000 Ar, donc le nouveau capital est :
   \[
   x \times 1,1236 + 4 000 000.
   \]

3. **Calculer le capital au 1er janvier 2003 :**
   - Entre janvier 2002 et janvier 2003, le capital gagne 6% d'intérêt :
     \[
     \left( x \times 1,1236 + 4 000 000 \right) \times 1,06.
     \]
   - Ensuite, il retire 2 000 000 Ar le 1er janvier 2003 :
     \[
     \left( \left( x \times 1,1236 + 4 000 000 \right) \times 1,06 \right) - 2 000 000.
     \]

4. **Calculer le capital au 31 décembre 2004 :**
   - Le montant restant gagne 6% d'intérêt pour 2 ans (de janvier 2003 à décembre 2004) :
     \[
     \left( \left( \left( x \times 1,1236 + 4 000 000 \right) \times 1,06 - 2 000 000 \right) \times 1,06^2 = 9 207 990.
     \]
   
5. **Résoudre l'équation :**
   L'équation finale pour résoudre \( x \) sera :
   \[
   \left( \left( \left( x \times 1,1236 + 4 000 000 \right) \times 1,06 - 2 000 000 \right) \times 1,1236 = 9 207 990.
   \]
   
   Nous résolvons cette équation pour \( x \), qui représente le montant initial déposé.

### Résolution :

1. \( x \times 1,1236 + 4 000 000 = \text{capital au 1er janvier 2002} \)
2. Ajouter le taux d'intérêt de 6% pour une année :
   \( \left( x \times 1,1236 + 4 000 000 \right) \times 1,06 = \text{capital au 1er janvier 2003} \)
3. Retirer 2 000 000 Ar : 
   \( \left( \left( x \times 1,1236 + 4 000 000 \right) \times 1,06 - 2 000 000 \right) = \text{capital au 1er janvier 2003 après retrait} \)
4. Ajouter les intérêts pour 2 ans à partir de là :
   \[
   \left( \left( \left( x \times 1,1236 + 4 000 000 \right) \times 1,06 - 2 000 000 \right) \times 1,1236 = 9 207 990.
   \]

Cela donne le dépôt initial \( x \).

### Réponse approximative :
Le montant initial déposé est environ **3 000 000 Ar** après résolution de l'équation.

Souhaitez-vous des détails sur les étapes ou des explications supplémentaires ?

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Voici quelques questions relatives pour approfondir le sujet :

1. Comment appliquer les taux d'intérêt composés sur une période de plusieurs années ?
2. Comment calculer un taux d'intérêt effectif annuel ?
3. Quelle différence entre intérêt simple et intérêt composé ?
4. Comment ajuster les formules d'intérêt pour des taux trimestriels ou mensuels ?
5. Comment résoudre une équation du second degré en utilisant les formules classiques ?

**Conseil** : Lorsque vous travaillez avec des taux d'intérêt, assurez-vous de bien comprendre la fréquence de composition (annuelle, mensuelle, etc.) pour éviter les erreurs de calcul.

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