Abychom určili, které z funkcí splňují podmínku $f(x) \geq \sin x$ pro všechna $x > 0$, je třeba porovnat každou funkci s funkcí $\sin x$ v daném intervalu. Analyzujme jednotlivé případy:

1. $f(x) = 7\sin x$

$f(x) = 7\sin x \geq \sin x \quad \text{pro všechna } x > 0.$ Tato nerovnost platí, protože $7\sin x$ je vždy větší nebo rovno $\sin x$.

Výsledek: Platí.

---

2. $f(x) = e^x$

$f(x) = e^x \quad \text{a} \quad \sin x \quad \text{pro všechna } x > 0.$ Pro malé hodnoty $x$ (například $x \to 0^+$), máme $e^x > \sin x$, protože $\sin x$ roste pomaleji než $e^x$ a $\sin x$ zůstává omezené mezi $-1$ a $1$. $e^x$ je vždy větší než $\sin x$ pro $x > 0$.

Výsledek: Platí.

---

3. $f(x) = \cos x$

Pro $x > 0$, $\cos x$ osciluje mezi $1$ a $-1$. U většiny hodnot $x > 0$, například v okolí $\pi/2$, je $\cos x < \sin x$.

Výsledek: Neplatí.

---

4. $f(x) = x^9$

Pro $x > 0$, funkce $x^9$ roste velmi rychle, ale pro velmi malé hodnoty $x$, například $x \to 0^+$, je $x^9 < \sin x$. To znamená, že nerovnost neplatí v celém intervalu $x > 0$.

Výsledek: Neplatí.

---

5. $f(x) = 2 - x$

Funkce $2 - x$ je lineární a klesá. Pro dostatečně velké $x$, například $x > 2$, je $2 - x < \sin x$. Proto nerovnost neplatí pro všechna $x > 0$.

Výsledek: Neplatí.

---

Shrnutí

Funkce, které splňují podmínku $f(x) \geq \sin x$ pro všechna $x > 0$, jsou:

1. $7\sin x$,
2. $e^x$.

---

Máte zájem o podrobnější vysvětlení?

Další otázky:

1. Jak se liší vlastnosti funkcí $e^x$ a $\sin x$ na intervalu $x > 0$?
2. Proč funkce $\cos x$ nesplňuje danou podmínku?
3. Jak ovlivňuje tvar funkce $x^9$ její hodnoty pro $x \to 0^+$?
4. Kdy funkce $2 - x$ přestává být větší nebo rovna $\sin x$?
5. Existuje jiná funkce než $e^x$ a $7\sin x$, která by splňovala tuto nerovnost?

Tip: Uvažování o růstu a mezích funkcí může pomoci rychleji rozhodnout o platnosti nerovností.