K řešení tohoto problému využijeme princip inkluze a exkluze pro tři množiny. Označme množiny takto:

• $A$: studenti, kteří mají rádi přednášky IB000,
• $B$: studenti, kteří mají ve škole dobrou náladu,
• $C$: studenti, kteří mají zájem se naučit teorii množin.

Máme následující informace:

1. $|A| = 37$
2. $|B| = 45$
3. $|C| = 44$
4. $|A \cap B \cap C| = 12$ (studenti, kteří mají všechny tři vlastnosti)
5. $|A \cap \overline{B}| = 17$ (studenti, kteří mají rádi IB000 a nemají dobrou náladu)
6. $|C \cap \overline{A}| = 23$ (studenti, kteří se chtějí naučit teorii množin a nemají rádi IB000)
7. $|B \cap \overline{C}| = 21$ (studenti, kteří mají dobrou náladu a nemají zájem o teorii množin)

Naším cílem je zjistit počet studentů, kteří mají alespoň jednu z vlastností $|A \cup B \cup C|$.

Podle principu inkluze a exkluze pro tři množiny platí:

$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|$

Nejdříve potřebujeme zjistit hodnoty $|A \cap B|$, $|A \cap C|$, a $|B \cap C|$. Použijeme dodané údaje:

• Hodnota $|A \cap B|$:

  • Vezmeme množinu $A$ a víme, že $|A \cap \overline{B}| = 17$.
  • Tedy, $|A \cap B| = |A| - |A \cap \overline{B}| = 37 - 17 = 20$.

• Hodnota $|A \cap C|$:

  • Víme, že $|C \cap \overline{A}| = 23$, takže:
  • $|A \cap C| = |C| - |C \cap \overline{A}| = 44 - 23 = 21$.

• Hodnota $|B \cap C|$:

  • Víme, že $|B \cap \overline{C}| = 21$, takže:
  • $|B \cap C| = |B| - |B \cap \overline{C}| = 45 - 21 = 24$.

Nyní můžeme dosadit do rovnice pro $|A \cup B \cup C|$:

$|A \cup B \cup C| = 37 + 45 + 44 - 20 - 21 - 24 + 12$

$|A \cup B \cup C| = 126 - 65 + 12 = 73$

Odpověď: Alespoň jednu z uvedených tří vlastností má 73 studentů.

Chcete k tomu podrobnější vysvětlení, nebo máte nějaké otázky?

---

Další otázky k procvičení:

1. Jaký je počet studentů, kteří mají právě jednu z vlastností?
2. Kolik studentů má přesně dvě vlastnosti?
3. Kolik studentů nemá rádo IB000, ale má dobrou náladu a zájem o teorii množin?
4. Jak by se změnil výpočet, kdyby bylo 15 studentů s dobrou náladou, kteří se chtějí naučit teorii množin, ale nemají rádi IB000?
5. Jak bychom postupovali, kdyby se přidala čtvrtá vlastnost?

Tip

Vždy si u podobných úloh poznamenejte všechny známe informace a systematicky je využijte při výpočtu.