La imagen presenta los 4 pasos básicos para realizar una prueba de hipótesis sobre la media poblacional cuando se conoce la desviación estándar $\sigma$. A continuación, se describen los pasos más detalladamente para cada tipo de prueba (unilateral a la izquierda, bilateral y unilateral a la derecha):

1. Planteamiento de Hipótesis

• Unilateral a la izquierda:

  • Hipótesis nula: $H_0: \mu \geq \mu_0$
  • Hipótesis alternativa: $H_1: \mu < \mu_0$

• Bilateral:

  • Hipótesis nula: $H_0: \mu = \mu_0$
  • Hipótesis alternativa: $H_1: \mu \neq \mu_0$

• Unilateral a la derecha:

  • Hipótesis nula: $H_0: \mu \leq \mu_0$
  • Hipótesis alternativa: $H_1: \mu > \mu_0$

2. Nivel de significación

• Representado por $\alpha$, es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera. Los valores comunes son $0.01$, $0.05$, $0.10$, etc.

3. Estadístico de Prueba

• Cuando se conoce el valor de $\sigma$, el estadístico de prueba es: $Z_{\text{cal}} = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$ Donde:
  • $\bar{x}$ es la media muestral.
  • $\mu_0$ es la media poblacional bajo la hipótesis nula.
  • $\sigma$ es la desviación estándar conocida.
  • $n$ es el tamaño de la muestra.
• El estadístico de prueba sigue una distribución normal estándar $N(0,1)$.

4. Decisión y Conclusión

• Unilateral a la izquierda:

  • Rechazar $H_0$ si $Z_{\text{cal}} < Z_{\alpha}$.

• Bilateral:

  • Rechazar $H_0$ si $|Z_{\text{cal}}| > Z_{1-\alpha/2}$.

• Unilateral a la derecha:

  • Rechazar $H_0$ si $Z_{\text{cal}} > Z_{1-\alpha}$.

Los diagramas muestran las regiones de rechazo para cada tipo de prueba en la distribución normal.

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta sobre este tema?

5 Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se realiza una prueba de hipótesis cuando la desviación estándar $\sigma$ no es conocida?
2. ¿Qué impacto tiene el tamaño de la muestra $n$ en el valor del estadístico de prueba $Z_{\text{cal}}$?
3. ¿Cómo se interpretan los resultados de una prueba bilateral si $Z_{\text{cal}}$ cae dentro del área de no rechazo?
4. ¿Cuáles son las diferencias entre una prueba de hipótesis para la media y una para la proporción poblacional?
5. ¿Cuándo se debe usar una prueba t de Student en lugar de una prueba Z?

Tip:

Recuerda que el nivel de significación $\alpha$ representa la probabilidad de cometer un error Tipo I (rechazar una hipótesis nula verdadera).