برای حل معادله دیفرانسیل همگن داده شده:

$x \, dy - y \, dx - \sqrt{x^2 + y^2} \, du = 0$

قدم‌های حل:

1. بازنویسی معادله به صورت استاندارد: معادله را به فرم مشتقات جزئی دسته‌بندی می‌کنیم: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{x}$ با فرض متغیرهای همگن.

2. تبدیل به مختصات قطبی: فرض کنید: $x = r \cos\theta, \quad y = r \sin\theta$ جایی که: $r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \tan\theta = \frac{y}{x}$

3. تبدیل دیفرانسیل‌ها: $dy = r \cos\theta \, d\theta + \sin\theta \, dr$ $dx = r \sin\theta \, d\theta + \cos\theta \, dr$

   جایگذاری در معادله اصلی و ساده‌سازی جهت حذف متغیرهای اضافی.

4. جدا کردن متغیرها: با جدا کردن متغیرها $r$ و $\theta$ و انجام انتگرال، به جواب عمومی دست پیدا می‌کنیم.

   آیا می‌خواهید حل دقیق‌تر با تمام مراحل ریاضی نشان داده شود؟