では、関数 $f(x) = x \log_e x$ （$x > 0$）の極値を詳しく調べ、増減表を作成し、その結果からグラフを描きましょう。

1. 導関数の計算

まず、関数 $f(x) = x \log_e x$ の導関数を求めます。

$f(x) = x \log_e x$

積の微分法を用いると、

$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x \log_e x \right)$

$= \log_e x + x \cdot \frac{1}{x}$

$= \log_e x + 1$

したがって、導関数は

$f'(x) = \log_e x + 1$

2. 極値の計算

極値を求めるために、導関数がゼロになる点を求めます。

$f'(x) = \log_e x + 1 = 0$

$\log_e x = -1$

$x = e^{-1}$

つまり、$x = \frac{1}{e}$ で極値があります。

3. 増減表の作成

導関数の符号を調べて、関数の増減を確認します。

• $0 < x < \frac{1}{e}$ のとき、 $\log_e x < -1$ なので $f'(x) < 0$
• $x = \frac{1}{e}$ のとき、 $f'(x) = 0$
• $x > \frac{1}{e}$ のとき、 $\log_e x > -1$ なので $f'(x) > 0$

これより、$x = \frac{1}{e}$ で関数 $f(x)$ は極小値を持ち、その前後で関数は減少し、増加します。

増減表

x & 0 < x < \frac{1}{e} & x = \frac{1}{e} & x > \frac{1}{e} \\ \hline f'(x) & - & 0 & + \\ f(x) & 減少 & 極小 & 増加 \\ \end{array}$$ ### 4. 極小値の確認 極小値を確認するために、$$x = \frac{1}{e}$$ での関数値を計算します。 $$f\left( \frac{1}{e} \right) = \frac{1}{e} \log_e \left( \frac{1}{e} \right)$$ $$= \frac{1}{e} \cdot (-1)$$ $$= -\frac{1}{e}$$ ### 5. 関数のグラフ描画 これらの情報を基に、グラフを描きます。 - グラフは $$x = \frac{1}{e}$$ で極小値 $$-\frac{1}{e}$$ を持つ。 - $$x > 0$$ の範囲で定義され、左から右へ減少し、極小値を通過した後増加します。 --- ご質問や詳細な説明が必要な場合は教えてください。また、以下の質問の中からご自由にお選びください。 1. もう一度導関数の計算を教えてください。 2. 増減表の解釈について詳しく説明してください。 3. 極小値の計算過程を教えてください。 4. 関数のグラフの描き方をもう少し詳しく説明してください。 5. 他の関数の極値の求め方について教えてください。 **数学のコツ:** 微分を用いた極値の計算では、まず導関数を求め、その導関数がゼロになる点を確認することが重要です。また、導関数の符号を調べて関数の増減を確認しましょう。