f(x) = x loge x（ｘ＞０）のグラフの極値を調べ(増減表を作り)、その増減表より f(x)のグラフを描きなさい。

では、関数 \( f(x) = x \log_e x \) （\(x > 0\)）の極値を詳しく調べ、増減表を作成し、その結果からグラフを描きましょう。

### 1. 導関数の計算
まず、関数 \( f(x) = x \log_e x \) の導関数を求めます。

\[ f(x) = x \log_e x \]

積の微分法を用いると、

\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x \log_e x \right) \]

\[ = \log_e x + x \cdot \frac{1}{x} \]

\[ = \log_e x + 1 \]

したがって、導関数は

\[ f'(x) = \log_e x + 1 \]

### 2. 極値の計算
極値を求めるために、導関数がゼロになる点を求めます。

\[ f'(x) = \log_e x + 1 = 0 \]

\[ \log_e x = -1 \]

\[ x = e^{-1} \]

つまり、\( x = \frac{1}{e} \) で極値があります。

### 3. 増減表の作成
導関数の符号を調べて、関数の増減を確認します。

- \( 0 < x < \frac{1}{e} \) のとき、 \( \log_e x < -1 \) なので \( f'(x) < 0 \)
- \( x = \frac{1}{e} \) のとき、 \( f'(x) = 0 \)
- \( x > \frac{1}{e} \) のとき、 \( \log_e x > -1 \) なので \( f'(x) > 0 \)

これより、\( x = \frac{1}{e} \) で関数 \( f(x) \) は極小値を持ち、その前後で関数は減少し、増加します。

### 増減表
\[ \begin{array}{c|ccc}
x & 0 < x < \frac{1}{e} & x = \frac{1}{e} & x > \frac{1}{e} \\
\hline
f'(x) & - & 0 & + \\
f(x) & 減少 & 極小 & 増加 \\
\end{array} \]

### 4. 極小値の確認
極小値を確認するために、\( x = \frac{1}{e} \) での関数値を計算します。

\[ f\left( \frac{1}{e} \right) = \frac{1}{e} \log_e \left( \frac{1}{e} \right) \]

\[ = \frac{1}{e} \cdot (-1) \]

\[ = -\frac{1}{e} \]

### 5. 関数のグラフ描画
これらの情報を基に、グラフを描きます。

- グラフは \( x = \frac{1}{e} \) で極小値 \( -\frac{1}{e} \) を持つ。
- \( x > 0 \) の範囲で定義され、左から右へ減少し、極小値を通過した後増加します。

---

ご質問や詳細な説明が必要な場合は教えてください。また、以下の質問の中からご自由にお選びください。

1. もう一度導関数の計算を教えてください。
2. 増減表の解釈について詳しく説明してください。
3. 極小値の計算過程を教えてください。
4. 関数のグラフの描き方をもう少し詳しく説明してください。
5. 他の関数の極値の求め方について教えてください。

**数学のコツ:** 微分を用いた極値の計算では、まず導関数を求め、その導関数がゼロになる点を確認することが重要です。また、導関数の符号を調べて関数の増減を確認しましょう。

Explore the function f(x) = x * log_e(x), its derivative, and the process of finding extrema using calculus. Learn how to create the derivative table and sketch the graph based on its behavior. Suitable for university-level calculus students.

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