Berikut adalah penyelesaian dari soal pada QUIS Graph Terapan yang Anda unggah:

1. Sejarah Teori Graf dan Contoh Aplikasi

Sejarah Awal: Teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1736 saat menyelesaikan masalah Jembatan Königsberg. Euler membuktikan bahwa tidak mungkin melewati setiap jembatan di kota Königsberg tepat satu kali. Dari sinilah muncul konsep dasar teori graf.

Contoh Aplikasi Nyata:

• Rute Transportasi: Menentukan jalur terpendek dalam jaringan jalan atau transportasi.
• Jaringan Komputer: Model jaringan komunikasi antar komputer.
• Optimasi Proses Produksi: Menentukan jalur optimal untuk produksi.
• Media Sosial: Representasi hubungan pertemanan (graf sosial).
• Analisis Peta: Pemetaan lokasi menggunakan graf.

2. Matriks Ketetanggaan (Adjacency Matrix)

Untuk graf pertama (graf biru dengan titik A, B, C, D, E, F), asumsi dibuat sebagai graf berarah dengan sisi-sisi yang terlihat. Matriks ketetanggaan $M$ dari graf adalah sebagai berikut:

Penjelasan:

1. Baris menunjukkan titik asal.
2. Kolom menunjukkan titik tujuan.
3. Angka 1 menunjukkan adanya sisi dari titik asal ke titik tujuan.

3. Jalur Terpendek dari Titik A ke Titik F

Graf Berbobot:

Titik-titik: $A, B, C, D, E, F$

Langkah Penyelesaian: Menggunakan algoritma Dijkstra untuk menentukan jalur terpendek.

a. Jumlah Lintasan dari A ke F

Dari graf:

• Ada 3 lintasan yang mungkin dari $A$ ke $F$:
  1. $A \to B \to D \to F$
  2. $A \to C \to E \to F$
  3. $A \to C \to D \to F$

b. Bobot Masing-masing Lintasan:

Hitung bobot berdasarkan bobot sisi:

1. $A \to B \to D \to F$: $5 + 6 + 2 = 13$
2. $A \to C \to E \to F$: $3 + 6 + 5 = 14$
3. $A \to C \to D \to F$: $3 + 10 + 2 = 15$

c. Lintasan Terpendek:

Lintasan dengan bobot terkecil adalah $A \to B \to D \to F$ dengan bobot 13.

4. Lintasan Euler

Graf terakhir adalah graf tak berarah.

Kriteria Lintasan Euler:

• Graf memiliki lintasan Euler jika tepat dua simpul memiliki derajat ganjil.
• Lintasan Euler melewati setiap sisi tepat satu kali.

Derajat simpul:

• Simpul $1$: 3 (ganjil)
• Simpul $2$: 4 (genap)
• Simpul $3$: 4 (genap)
• Simpul $4$: 3 (ganjil)
• Simpul $5$: 4 (genap)
• Simpul $6$: 3 (ganjil)
• Simpul $7$: 3 (ganjil)

Kesimpulan: Graf ini memiliki lebih dari dua simpul berderajat ganjil, sehingga tidak memiliki lintasan Euler.

Pertanyaan Tambahan:

1. Jelaskan lebih dalam tentang perbedaan lintasan Euler dan Hamilton.
2. Apakah mungkin ada lebih dari satu lintasan terpendek dari A ke F? Mengapa?
3. Bagaimana cara menyederhanakan graf yang kompleks menjadi lebih kecil?
4. Apa perbedaan matriks ketetanggaan dan matriks insiden?
5. Bagaimana penggunaan algoritma Dijkstra pada jaringan yang sangat besar?

Tip: Dalam graf, gunakan visualisasi agar lebih mudah memahami struktur jaringan dan solusi masalah lintasan!