Pour tracer la courbe de la fonction $f(x) = \frac{\ln(x+1)}{x}$, nous devons suivre plusieurs étapes :

1. Analyser le domaine de la fonction : La fonction est définie pour $x > 0$, car le logarithme $\ln(x+1)$ est défini pour $x+1 > 0$, ce qui signifie $x > -1$. Cependant, $x = 0$ pose problème dans le dénominateur, donc la fonction est définie pour $x > 0$.

2. Comportement asymptotique :

   • À $x \to 0^+$, $\ln(x+1) \approx x$, donc $\frac{\ln(x+1)}{x} \to 1$.
   • À $x \to \infty$, $\ln(x+1) \sim \ln(x)$, donc $\frac{\ln(x+1)}{x} \to 0$.

3. Comportement général : La fonction commence près de 1 pour $x \to 0^+$, puis diminue à mesure que $x$ augmente et approche de 0 pour des grandes valeurs de $x$.

Je vais maintenant tracer cette fonction. numpy as np import matplotlib.pyplot as plt

Définir la fonction f(x) = ln(x+1)/x

def f(x): return np.log(x + 1) / x

Créer un vecteur de valeurs de x

x_values = np.linspace(0.01, 10, 500) # éviter x=0 car la fonction n'est pas définie à x=0 y_values = f(x_values)

Tracer la courbe

plt.plot(x_values, y_values, label=r'$\frac{\ln(x+1)}{x}$', color='b') plt.title('Courbe de $f(x) = \frac{\ln(x+1)}{x}$') plt.xlabel('x') plt.ylabel('f(x)') plt.grid(True) plt.axhline(0, color='black',linewidth=1) plt.axvline(0, color='black',linewidth=1) plt.legend() plt.show()Voici le graphique de la fonction $f(x) = \frac{\ln(x+1)}{x}$. Comme prévu, on observe que la fonction commence à environ 1 lorsque $x$ est proche de 0, puis diminue progressivement à mesure que $x$ augmente, se rapprochant de 0 pour des valeurs de $x$ très grandes.

Si tu veux plus de détails sur le comportement de la fonction ou d'autres aspects, n'hésite pas à demander !

5 questions supplémentaires pour approfondir :

1. Quelle est la limite de $f(x)$ lorsque $x \to 0^+$ ?
2. Comment cette fonction se comporte-t-elle pour des valeurs négatives de $x$ ?
3. Quelle est la dérivée de $f(x)$ ?
4. Quelle est la concavité de la fonction $f(x)$ ?
5. Peut-on obtenir une approximation de la fonction pour de petites valeurs de $x$ ?

Astuce :

Lorsque tu fais une analyse asymptotique, il est souvent utile de simplifier l'expression de la fonction avec des approximations de séries (comme la série de Taylor pour $\ln(x+1)$ près de $x = 0$) afin de mieux comprendre son comportement local.