曲線 y=1/2（e^x+e^-x）,（ー２＜ｘ＜２）のグラフを描きなさい。その曲線の長さ を求めなさい。

曲線 $ y = \frac{1}{2}(e^x + e^{-x}) $ （ー２＜ｘ＜２）のグラフを描き、その曲線の長さを求めます。

1. **グラフの描画**：

まず、関数 $ y = \frac{1}{2}(e^x + e^{-x}) $ のグラフを描きます。この関数は双曲線余弦関数（ハイパーボリックコサイン関数）に等しいです。すなわち、$ y = \cosh(x) $ です。

\[ y = \cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \]

x の範囲は ー２から２までです。

```python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-2, 2, 400)
y = np.cosh(x)

plt.plot(x, y, label=r'$y = \frac{1}{2}(e^x + e^{-x})$')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Graph of $y = \frac{1}{2}(e^x + e^{-x})$')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
```

2. **曲線の長さの計算**：

曲線の長さ $ L $ は、次の式で求められます。

\[ L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx \]

ここで、$ y = \cosh(x) $ の微分 $ \frac{dy}{dx} = \sinh(x) $ です。

よって、曲線の長さ $ L $ は次のようになります。

\[ L = \int_{-2}^{2} \sqrt{1 + \sinh^2(x)} \, dx \]

双曲線関数の関係式 $ \cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1 $ を使うと、

\[ \sqrt{1 + \sinh^2(x)} = \sqrt{\cosh^2(x)} = \cosh(x) \]

したがって、

\[ L = \int_{-2}^{2} \cosh(x) \, dx \]

\[ L = \left[ \sinh(x) \right]_{-2}^{2} \]

\[ L = \sinh(2) - \sinh(-2) \]

双曲線正弦関数の性質 $ \sinh(-x) = -\sinh(x) $ を使うと、

\[ L = \sinh(2) - (-\sinh(2)) \]

\[ L = 2 \sinh(2) \]

具体的な値を計算します。

\[ \sinh(2) = \frac{e^2 - e^{-2}}{2} \]

したがって、

\[ L = 2 \left( \frac{e^2 - e^{-2}}{2} \right) = e^2 - e^{-2} \]

数値として計算すると、

\[ e^2 \approx 7.389056 \]
\[ e^{-2} \approx 0.135335 \]

\[ L \approx 7.389056 - 0.135335 = 7.253721 \]

よって、曲線の長さは約 7.254 です。

---

**まとめ**：

- 関数 $ y = \frac{1}{2}(e^x + e^{-x}) $ のグラフは以下のようになります。
- 曲線の長さは約 7.254 です。

何か質問がありますか、もしくは詳細な説明が必要ですか？

次のような質問をどうぞ：
1. 関数 $ \cosh(x) $ についてもっと教えてください。
2. 他の曲線の長さの計算方法について教えてください。
3. 曲線の面積を計算する方法を教えてください。
4. 双曲線関数の性質について教えてください。
5. グラフ描画の詳細な手順を教えてください。

**Tip**: 双曲線関数（ハイパーボリック関数）は、多くの物理学や工学の応用で役立ちます。特に、一般相対性理論や特殊相対性理論に関連する問題で頻繁に使用されます。

Explore the graph of the function y = 1/2(e^x + e^-x) over the interval -2 < x < 2 and calculate its arc length. Understand the properties of hyperbolic functions and the integration technique used to find the curve's length.

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