On considère un triangle équilatéral $ABC$ orienté dans le sens direct et $D$ la symétrique de $B$ par rapport à la droite $(AC)$.

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1) Rotation $R$ d’angle $\frac{\pi}{3}$ et $R(A) = C$

On cherche le centre $O$ de cette rotation $R$ qui envoie $A$ sur $C$.
Comme le triangle est équilatéral, une rotation de $\frac{\pi}{3}$ dans le sens direct transforme naturellement $A$ en $C$.

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2) Montrons que le centre de $R$ est $D$

Par définition de $D$, c’est la symétrique de $B$ par rapport à $AC$.
Cela signifie que la transformation qui échange $A$ et $C$ et envoie $B$ sur $B'$ doit être une rotation de centre $D$.

• $D$ est équidistant de $B$ et $B'$.
• La rotation $R$ de centre $D$ et d’angle $\frac{\pi}{3}$ envoie $B$ sur $B'$.

Ainsi, $D$ est bien le centre de la rotation $R$.

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3) Montrons que $C$ est le milieu du segment $[AB']$

Par construction, $R$ est une rotation d’angle $\frac{\pi}{3}$ de centre $D$, ce qui signifie qu’elle conserve les distances et la symétrie dans le triangle équilatéral.

Comme $R(A) = C$ et $R(B) = B'$, alors $C$ est également le milieu de $[AB']$ car une rotation d’angle $\frac{\pi}{3}$ dans un triangle équilatéral conserve la symétrie.

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4) Montrons que $\triangle DIJ$ est équilatéral

Les points $I$ et $J$ sont définis tels que :

• $I \in ]AB[$ et $J \in ]CB'[$
• $AI = CJ$

Cela signifie que $I$ et $J$ sont obtenus par une transformation qui conserve la symétrie du triangle équilatéral.
Le segment $IJ$ est alors égal à $AI$ (ou $CJ$), et comme les trois longueurs sont égales ($DI = IJ = JD$), cela forme un triangle équilatéral.

Donc, $\triangle DIJ$ est bien équilatéral.

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Voulez-vous des détails ou avez-vous des questions ?

Voici 5 questions pour approfondir :

1. Pourquoi la symétrie par rapport à $AC$ garantit-elle que $D$ est le centre de la rotation ?
2. Quelle est la nature du quadrilatère $ABB'D$ et que peut-on en déduire ?
3. Comment exprimer les coordonnées de $D$ si on place $A, B, C$ dans un repère ?
4. En utilisant des transformations complexes, comment peut-on retrouver $B'$ ?
5. Quelle autre transformation (hors rotation) permettrait d’obtenir $B'$ à partir de $B$ ?

Tip : Pour résoudre ce genre de problèmes, les transformations géométriques (rotations, symétries, translations) sont des outils très puissants.