La question demande de montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :

$\sum_{k=0}^{n} \left( \frac{1}{4} \right)^k = \frac{4}{3} \left( 1 - \left( \frac{1}{4} \right)^{n+1} \right)$

Preuve :

1. Somme d'une suite géométrique : La somme donnée est une somme partielle d'une suite géométrique de raison $r = \frac{1}{4}$ et de premier terme $a = 1$ (car $\left( \frac{1}{4} \right)^0 = 1$).

   Une formule bien connue pour la somme partielle d'une suite géométrique est la suivante : $S_n = \sum_{k=0}^{n} a r^k = \frac{a(1 - r^{n+1})}{1 - r}$ où $a$ est le premier terme, $r$ la raison et $n$ le nombre de termes.

2. Application de la formule :

   • Ici, $a = 1$ et $r = \frac{1}{4}$.
   • En appliquant la formule, on obtient : $S_n = \frac{1(1 - \left( \frac{1}{4} \right)^{n+1})}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1 - \left( \frac{1}{4} \right)^{n+1}}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3} \left( 1 - \left( \frac{1}{4} \right)^{n+1} \right)$

3. Conclusion : On a bien montré que la somme partielle est égale à la formule demandée : $\sum_{k=0}^{n} \left( \frac{1}{4} \right)^k = \frac{4}{3} \left( 1 - \left( \frac{1}{4} \right)^{n+1} \right)$

Cela répond à la question posée.

Souhaitez-vous des détails supplémentaires sur cette démonstration ?

Questions supplémentaires :

1. Comment démontre-t-on la formule générale pour la somme d'une suite géométrique ?
2. Comment cette formule change-t-elle si la raison $r$ est un autre nombre que $\frac{1}{4}$ ?
3. Quelle est la somme de cette série géométrique lorsque $n \to \infty$ ?
4. Comment interpréter cette somme géométrique dans un contexte pratique ?
5. Pourquoi la somme converge-t-elle lorsque $|r| < 1$ ?

Tip :

Les séries géométriques sont omniprésentes dans les sciences et l'ingénierie, en particulier lorsqu'il s'agit de modéliser des systèmes avec des décroissances exponentielles.