Pour résoudre ce problème, analysons chaque énoncé en utilisant les fonctions données :

• $f(x) = 2x + 1$
• $g(x) = x$ (fonction identité)

(a) $f \circ g(1) = 2$

La composition $f \circ g(1)$ signifie que nous devons d'abord appliquer $g$ à $1$, puis appliquer $f$ à ce résultat.

1. Calculons $g(1)$ : $g(1) = 1$

2. Ensuite, appliquons $f$ à $g(1)$ : $f(g(1)) = f(1) = 2(1) + 1 = 3$

Donc, $f \circ g(1) = 3$, pas 2. L'énoncé (a) est faux.

(b) $g \circ f(-1) = 2$

La composition $g \circ f(-1)$ signifie que nous devons d'abord appliquer $f$ à $-1$, puis appliquer $g$ à ce résultat.

1. Calculons $f(-1)$ : $f(-1) = 2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1$

2. Ensuite, appliquons $g$ à $f(-1)$ : $g(f(-1)) = g(-1) = -1$

Donc, $g \circ f(-1) = -1$, pas 2. L'énoncé (b) est faux.

(c) $f \circ g(x) = f(g(x)) = f(x) = 2x + 1$

La composition $f \circ g(x)$ signifie que nous appliquons d'abord $g(x)$, puis $f$ à ce résultat. Comme $g(x) = x$, on a :

$f(g(x)) = f(x) = 2x + 1$

Cela est vrai, car $g(x) = x$, donc $f(g(x))$ devient simplement $f(x)$, et c'est bien $2x + 1$. L'énoncé (c) est vrai.

(d) L'inverse de la fonction $g$ est $g^{-1}(x) = \frac{x}{1 + x}$

La fonction $g(x) = x$ est une fonction identité, donc son inverse est aussi $g^{-1}(x) = x$, et non $\frac{x}{1 + x}$. L'énoncé (d) est faux.

Conclusion

• (a) Faux
• (b) Faux
• (c) Vrai
• (d) Faux

La réponse correcte est D. (a) et (c). Cependant, étant donné que (a) est