给定数列的项按如下顺序排列：

$1/1, 2/1, 1/2, 3/1, 2/2, 1/3, 4/1, 3/2, 2/3, 1/4, \dots$

我们可以总结出几个明显的规律：

1. 每一项是一个分数，分子和分母都是正整数。
2. 分子和分母的和是递增的，即：$1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 1 + 2 = 3, 3 + 1 = 4, \dots$。
3. 对于每一个固定的和 $S = n + m$，按照分子的递减顺序依次列出对应的分子和分母。

为了找到该数列的通项公式，我们可以通过以下方法分析：

Step 1: 和的规律

对于第 $k$ 项，我们可以找到一个规律：分子和分母的和 $n + m$ 是一个递增的自然数序列。我们可以设定 $S = n + m$，并且按照每个 $S$ 的取值来枚举可能的分子和分母组合。

Step 2: 逐行查看分子和分母的排列

对于给定的 $S$，我们发现分子和分母的顺序是：

• 当 $S = 2$: $1/1$
• 当 $S = 3$: $2/1, 1/2$
• 当 $S = 4$: $3/1, 2/2, 1/3$
• 当 $S = 5$: $4/1, 3/2, 2/3, 1/4$
• 当 $S = 6$: $5/1, 4/2, 3/3, 2/4, 1/5$

每个 $S$ 对应的分子从 $S-1$ 开始递减，分母则从 1 开始递增，直到两者之和为 $S$。

Step 3: 找出第 $k$ 项

要找数列的第 $k$ 项，首先需要找到对应的 $S$，即满足以下条件的最小整数 $S$:

$\frac{S(S-1)}{2} < k \leq \frac{S(S+1)}{2}$

确定 $S$ 后，可以通过计算第 $k$ 项是第 $S$ 组中的第几个数，然后确定分子和分母的值。

通项公式：

设 $T(S) = \frac{S(S-1)}{2}$，即前 $S-1$ 项的总和。如果第 $k$ 项位于第 $S$ 组（和为 $S$ 的所有项），则第 $k$ 项的分子为：

$\text{numerator} = S - (k - T(S))$

分母则为：

$\text{denominator} = k - T(S)$

例子：

假设我们要找数列的第 8 项，首先确定 $S$:

$T(3) = \frac{3(3-1)}{2} = 3, \quad T(4) = \frac{4(4-1)}{2} = 6$

8 介于 $T(4)$ 和 $T(5)$ 之间，因此第 8 项位于 $S = 5$ 这一组。对于 $S = 5$，前 6 项属于前面的组，因此 8 是这一组的第 $8 - 6 = 2$ 个数。根据顺序，分子和分母分别为 $5-2 = 3$ 和 $2$。因此，第 8 项是 $3/2$。

你想更深入了解哪一步？你也可以让我用更多的例子来解释。

相关问题:

1. 如何找出更大的项，例如第 50 项？
2. 如果给出 $k$，如何快速确定 $S$ 值？
3. 该数列中是否存在重复的分数项？
4. 数列中的最简分数形式如何确定？
5. 是否可以使用递推公式推导出每一项？

提示: 尽量找到数列的结构规律，能帮助你快速找到想要的项。