Math Problem Statement
فرمول شماره 8 را از فرمول شماره 2 بدست آورید
Solution
برای اینکه فرمول شماره را از فرمول شماره بدست آوریم، باید ببینیم چگونه تغییراتی بر روی فرمول انجام شده تا به ساختار فرمول برسیم.
تحلیل فرمول شماره :
فرمول شماره اینگونه تعریف شده است:
\begin{cases} 1, & b < x < c \\ 0, & \text{در غیر این صورت} \end{cases}$$ و تبدیل فوریه آن به شکل زیر داده شده است: $$\mathcal{F}(f) = \frac{e^{-ibw} - e^{-icw}}{iw\sqrt{2\pi}}$$ ### تحلیل فرمول شماره $$8$$: فرمول شماره $$8$$ به شکل زیر تعریف شده است: $$f(x) = \begin{cases} e^{iax}, & b < x < c \\ 0, & \text{در غیر این صورت} \end{cases}$$ و تبدیل فوریه آن به صورت زیر آمده است: $$\mathcal{F}(f) = \frac{i}{\sqrt{2\pi}(a-w)}\left( e^{ib(a-w)} - e^{ic(a-w)} \right)$$ ### روش اثبات: 1. **ارتباط میان دو فرمول**: تابع $$f(x)$$ در فرمول $$8$$ به جای مقدار ثابت $$1$$ در بازه $$(b, c)$$، شامل ضریبی نوسانی $$e^{iax}$$ شده است. 2. **تأثیر بر تبدیل فوریه**: اگر $$f(x)$$ را به صورت $$e^{iax}g(x)$$ بنویسیم، که در آن $$g(x)$$ مشابه تعریف فرمول $$2$$ است: $$g(x) = \begin{cases} 1, & b < x < c \\ 0, & \text{در غیر این صورت} \end{cases}$$ بنابراین تبدیل فوریه $$f(x)$$ را می‌توان از تبدیل فوریه $$g(x)$$ به کمک انتقال و ضرب بدست آورد. رابطه تبدیل فوریه در این حالت به صورت زیر خواهد بود: $$\mathcal{F}(f)(w) = \mathcal{F}(e^{iax}g(x)) = \mathcal{F}(g)(w-a)$$ 3. **جایگذاری**: با جایگذاری $$g(x)$$ و استفاده از تبدیل فوریه داده شده برای $$g(x)$$ در فرمول $$2$$: $$\mathcal{F}(g)(w) = \frac{e^{-ibw} - e^{-icw}}{iw\sqrt{2\pi}}$$ اکنون با انتقال $$w$$ به $$w-a$$: $$\mathcal{F}(f)(w) = \frac{e^{-ib(w-a)} - e^{-ic(w-a)}}{i(w-a)\sqrt{2\pi}}$$ 4. **ساده‌سازی**: $$\mathcal{F}(f)(w) = \frac{i}{\sqrt{2\pi}(a-w)}\left( e^{ib(a-w)} - e^{ic(a-w)} \right)$$ که دقیقاً برابر است با فرم داده شده در فرمول $$8$$. ### نتیجه: فرمول $$8$$ از فرمول $$2$$ با جایگذاری $$f(x) \to e^{iax} f(x)$$ و انتقال تبدیل فوریه به $$w-a$$ بدست آمده است. آیا به توضیحات بیشتری نیاز دارید یا سوال دیگری دارید؟ 😊 **سوال‌های مرتبط:** 1. تبدیل فوریه چگونه تحت انتقال $$w \to w-a$$ تغییر می‌کند؟ 2. چرا ضریب $$e^{iax}$$ باعث جابجایی فرکانس در فضای تبدیل می‌شود؟ 3. آیا می‌توان این فرآیند را برای توابع پیچیده‌تر نیز به کار برد؟ 4. چه تفاوتی میان اثر نوسان‌دار بودن و تأثیر عرض بازه بر تبدیل فوریه وجود دارد؟ 5. رابطه میان فرمول‌های دیگر در این جدول چیست؟ **نکته:** هنگام بررسی تغییرات در تبدیل فوریه، به تأثیر ضریب‌های نمایی توجه ویژه‌ای داشته باشید، چرا که این ضریب‌ها فرکانس و فاز سیگنال را جابجا می‌کنند.Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Fourier Transform
Complex Exponentials
Piecewise Functions
Formulas
f(x) = {1, b < x < c; 0, otherwise}
f(x) = {e^(iax), b < x < c; 0, otherwise}
F(w) = (e^(-ibw) - e^(-icw)) / (iw√(2π))
F(w) = (i / √(2π)(a-w)) * (e^(ib(a-w)) - e^(ic(a-w)))
Theorems
Fourier Transform Shift Property
Properties of Exponential Functions
Suitable Grade Level
Undergraduate (Mathematics or Engineering)
Related Recommendation
Derive Formula 7 Using Formula 1 with Fourier Transforms
Deriving Formula 7 from Formula 1 Using Fourier Transforms
Deriving Fourier Transform Formula 7 from Formula 1 via Translation on w-axis
Transformation of Exponential Sum to Geometric Series Using Fourier Analysis
Fourier Transform of a Piecewise Function f(x)