https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1737574078822olwqfjqq.jpg

فرمول شماره 8 را از فرمول شماره 2 بدست آورید

برای اینکه فرمول شماره \( 8 \) را از فرمول شماره \( 2 \) بدست آوریم، باید ببینیم چگونه تغییراتی بر روی فرمول \( 2 \) انجام شده تا به ساختار فرمول \( 8 \) برسیم. 

### تحلیل فرمول شماره \( 2 \):
فرمول شماره \( 2 \) اینگونه تعریف شده است:
\[
f(x) =
\begin{cases} 
1, & b < x < c \\
0, & \text{در غیر این صورت}
\end{cases}
\]

و تبدیل فوریه آن به شکل زیر داده شده است:
\[
\mathcal{F}(f) = \frac{e^{-ibw} - e^{-icw}}{iw\sqrt{2\pi}}
\]

### تحلیل فرمول شماره \( 8 \):
فرمول شماره \( 8 \) به شکل زیر تعریف شده است:
\[
f(x) =
\begin{cases} 
e^{iax}, & b < x < c \\
0, & \text{در غیر این صورت}
\end{cases}
\]

و تبدیل فوریه آن به صورت زیر آمده است:
\[
\mathcal{F}(f) = \frac{i}{\sqrt{2\pi}(a-w)}\left( e^{ib(a-w)} - e^{ic(a-w)} \right)
\]

### روش اثبات:
1. **ارتباط میان دو فرمول**: 
   تابع \( f(x) \) در فرمول \( 8 \) به جای مقدار ثابت \( 1 \) در بازه \( (b, c) \)، شامل ضریبی نوسانی \( e^{iax} \) شده است.

2. **تأثیر بر تبدیل فوریه**:
   اگر \( f(x) \) را به صورت \( e^{iax}g(x) \) بنویسیم، که در آن \( g(x) \) مشابه تعریف فرمول \( 2 \) است:
   \[
   g(x) =
   \begin{cases}
   1, & b < x < c \\
   0, & \text{در غیر این صورت}
   \end{cases}
   \]

   بنابراین تبدیل فوریه \( f(x) \) را می‌توان از تبدیل فوریه \( g(x) \) به کمک انتقال و ضرب بدست آورد. رابطه تبدیل فوریه در این حالت به صورت زیر خواهد بود:
   \[
   \mathcal{F}(f)(w) = \mathcal{F}(e^{iax}g(x)) = \mathcal{F}(g)(w-a)
   \]

3. **جایگذاری**:
   با جایگذاری \( g(x) \) و استفاده از تبدیل فوریه داده شده برای \( g(x) \) در فرمول \( 2 \):
   \[
   \mathcal{F}(g)(w) = \frac{e^{-ibw} - e^{-icw}}{iw\sqrt{2\pi}}
   \]

   اکنون با انتقال \( w \) به \( w-a \):
   \[
   \mathcal{F}(f)(w) = \frac{e^{-ib(w-a)} - e^{-ic(w-a)}}{i(w-a)\sqrt{2\pi}}
   \]

4. **ساده‌سازی**:
   \[
   \mathcal{F}(f)(w) = \frac{i}{\sqrt{2\pi}(a-w)}\left( e^{ib(a-w)} - e^{ic(a-w)} \right)
   \]

که دقیقاً برابر است با فرم داده شده در فرمول \( 8 \).

### نتیجه:
فرمول \( 8 \) از فرمول \( 2 \) با جایگذاری \( f(x) \to e^{iax} f(x) \) و انتقال تبدیل فوریه به \( w-a \) بدست آمده است.

آیا به توضیحات بیشتری نیاز دارید یا سوال دیگری دارید؟ 😊  
**سوال‌های مرتبط:**
1. تبدیل فوریه چگونه تحت انتقال \( w \to w-a \) تغییر می‌کند؟
2. چرا ضریب \( e^{iax} \) باعث جابجایی فرکانس در فضای تبدیل می‌شود؟
3. آیا می‌توان این فرآیند را برای توابع پیچیده‌تر نیز به کار برد؟
4. چه تفاوتی میان اثر نوسان‌دار بودن و تأثیر عرض بازه بر تبدیل فوریه وجود دارد؟
5. رابطه میان فرمول‌های دیگر در این جدول چیست؟

**نکته:** هنگام بررسی تغییرات در تبدیل فوریه، به تأثیر ضریب‌های نمایی توجه ویژه‌ای داشته باشید، چرا که این ضریب‌ها فرکانس و فاز سیگنال را جابجا می‌کنند.

Understand how Formula 8, involving exponential terms in Fourier transforms, is derived from Formula 2 using the shift property and properties of piecewise functions. This detailed explanation is ideal for undergraduate students in mathematics and engineering.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation