montrer tous detail du calcule et la graphe

Voici la représentation graphique de la fonction \( f(x) = \frac{1}{12}(x^2 - \pi^2) \), périodique sur l'intervalle \( [-4\pi, 4\pi] \). La fonction est une parabole répétée périodiquement avec une période de \( 2\pi \). Les sommets de la parabole se trouvent à \( x = 0, \pm 2\pi, \pm 4\pi \) et les zéros sont situés à \( x = \pm \pi, \pm 3\pi \).

Maintenant, nous allons détailler le calcul de la série de Fourier et la somme de la série demandée. 

### (i) Calcul de \( a_0 \) :
Le coefficient \( a_0 \) est donné par :
\[
a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx.
\]
Pour la fonction \( f(x) = \frac{1}{12}(x^2 - \pi^2) \), nous avons :
\[
a_0 = \frac{1}{12\pi} \left( \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \, dx - \pi^2 \int_{-\pi}^{\pi} 1 \, dx \right).
\]
Calculons chaque partie.

- \( \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \, dx = \frac{2\pi^3}{3} \),
- \( \int_{-\pi}^{\pi} 1 \, dx = 2\pi \).

Donc,
\[
a_0 = \frac{1}{12\pi} \left( \frac{2\pi^3}{3} - 2\pi^3 \right) = -\frac{\pi^2}{9}.
\]

### (ii) Calcul des coefficients \( a_n \) :
Le coefficient \( a_n \) est donné par :
\[
a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx.
\]
Après intégration, nous obtenons :
\[
a_n = \frac{4(-1)^n}{n^2}.
\]

Ainsi, la série de Fourier de la fonction \( f(x) \) devient :
\[
f(x) = -\frac{\pi^2}{18} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4(-1)^n}{n^2} \cos(nx).
\]

### (iii) Somme de la série infinie :
En utilisant la formule de Parseval, nous avons :
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}.
\]

La somme demandée est donc \( 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} \).

Avez-vous besoin de plus de détails ou d'une autre explication ? 

### Questions relatives :
1. Comment calculer les coefficients de Fourier \( a_n \) plus en détail ?
2. Pourquoi les termes en \( \sin(nx) \) disparaissent-ils pour une fonction paire ?
3. Comment interpréter graphiquement la série de Fourier obtenue pour \( f(x) \) ?
4. Comment vérifier le calcul de la somme infinie avec Parseval ?
5. Quels autres exemples de séries infinies sont liés à \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) ?
6. Comment résout-on les intégrales dans une série de Fourier ?
7. Pourquoi la série de Fourier converge-t-elle vers \( f(x) \) ?
8. Comment modifier la fonction si elle n'était pas paire ?

### Astuce :
Toujours vérifier la symétrie d'une fonction (paire ou impaire) avant de calculer une série de Fourier, cela permet de simplifier les calculs en éliminant certains termes.

Explore the Fourier series of f(x) = (1/12)(x^2 - π^2), including detailed calculations of Fourier coefficients and the sum using Parseval's theorem. Understand the periodic nature of the function and its graphical representation.

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