Math Problem Statement
Разложи в ряд Фурье исходную функцию на отрезке от 0 до 2pi, если f(x)=(pi-x)/2
Solution
Для разложения функции на отрезке в ряд Фурье, нужно найти ее коэффициенты ряда Фурье. Ряд Фурье для функции , заданной на отрезке , имеет вид:
где коэффициенты , и определяются по формулам:
Шаг 1: Находим
Вычислим этот интеграл:
Первые интегралы:
Подставляем:
= \frac{1}{\pi} \left( \pi^2 - \pi^2 \right) = 0$$ ### Шаг 2: Находим $$a_n$$ Теперь вычислим коэффициенты $$a_n$$: $$a_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} \frac{\pi - x}{2} \cos(nx) \, dx$$ Этот интеграл можно разделить на два: $$a_n = \frac{1}{\pi} \left( \frac{\pi}{2} \int_0^{2\pi} \cos(nx) \, dx - \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} x \cos(nx) \, dx \right)$$ Известно, что $$\int_0^{2\pi} \cos(nx) \, dx = 0$$, следовательно, остается: $$a_n = -\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} x \cos(nx) \, dx$$ Интеграл $$\int_0^{2\pi} x \cos(nx) \, dx$$ можно вычислить по частям, но результат будет: $$a_n = 0 \quad \text{для всех} \, n$$ ### Шаг 3: Находим $$b_n$$ Теперь вычислим коэффициенты $$b_n$$: $$b_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} \frac{\pi - x}{2} \sin(nx) \, dx$$ Разделим интеграл: $$b_n = \frac{1}{\pi} \left( \frac{\pi}{2} \int_0^{2\pi} \sin(nx) \, dx - \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} x \sin(nx) \, dx \right)$$ Известно, что $$\int_0^{2\pi} \sin(nx) \, dx = 0$$, следовательно: $$b_n = -\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} x \sin(nx) \, dx$$ Этот интеграл можно вычислить по частям, и результат будет: $$b_n = \frac{2}{n}$$ ### Итоговое разложение в ряд Фурье Таким образом, функция $$f(x) = \frac{\pi - x}{2}$$ на интервале $$[0, 2\pi]$$ разлагается в ряд Фурье следующим образом: $$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n} \sin(nx)$$ Если у вас возникнут дополнительные вопросы или пожелания, уточните!Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Fourier Series
Integration
Trigonometric Functions
Formulas
Fourier series formula: f(x) = a0/2 + Σ (an cos(nx) + bn sin(nx))
a0 = (1/π) * ∫(0 to 2π) f(x) dx
an = (1/π) * ∫(0 to 2π) f(x) cos(nx) dx
bn = (1/π) * ∫(0 to 2π) f(x) sin(nx) dx
Theorems
Fourier Series Decomposition
Integration by Parts
Suitable Grade Level
University (Advanced Calculus/Analysis)