Math Problem Statement

Разложи в ряд Фурье исходную функцию на отрезке от 0 до 2pi, если f(x)=(pi-x)/2

Solution

Для разложения функции f(x)=πx2f(x) = \frac{\pi - x}{2} на отрезке [0,2π][0, 2\pi] в ряд Фурье, нужно найти ее коэффициенты ряда Фурье. Ряд Фурье для функции f(x)f(x), заданной на отрезке [0,2π][0, 2\pi], имеет вид:

f(x)=a02+n=1(ancos(nx)+bnsin(nx))f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)\right)

где коэффициенты a0a_0, ana_n и bnb_n определяются по формулам:

  1. a0=1π02πf(x)dxa_0 = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x) \, dx
  2. an=1π02πf(x)cos(nx)dxa_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x) \cos(nx) \, dx
  3. bn=1π02πf(x)sin(nx)dxb_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x) \sin(nx) \, dx

Шаг 1: Находим a0a_0

a0=1π02ππx2dxa_0 = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} \frac{\pi - x}{2} \, dx

Вычислим этот интеграл:

a0=1π02ππ2x2dx=1π(π202π1dx1202πxdx)a_0 = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} \frac{\pi}{2} - \frac{x}{2} \, dx = \frac{1}{\pi} \left( \frac{\pi}{2} \int_0^{2\pi} 1 \, dx - \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} x \, dx \right)

Первые интегралы:

02π1dx=2πи02πxdx=[x22]02π=(2π)22=2π2\int_0^{2\pi} 1 \, dx = 2\pi \quad \text{и} \quad \int_0^{2\pi} x \, dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^{2\pi} = \frac{(2\pi)^2}{2} = 2\pi^2

Подставляем:

= \frac{1}{\pi} \left( \pi^2 - \pi^2 \right) = 0$$ ### Шаг 2: Находим $$a_n$$ Теперь вычислим коэффициенты $$a_n$$: $$a_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} \frac{\pi - x}{2} \cos(nx) \, dx$$ Этот интеграл можно разделить на два: $$a_n = \frac{1}{\pi} \left( \frac{\pi}{2} \int_0^{2\pi} \cos(nx) \, dx - \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} x \cos(nx) \, dx \right)$$ Известно, что $$\int_0^{2\pi} \cos(nx) \, dx = 0$$, следовательно, остается: $$a_n = -\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} x \cos(nx) \, dx$$ Интеграл $$\int_0^{2\pi} x \cos(nx) \, dx$$ можно вычислить по частям, но результат будет: $$a_n = 0 \quad \text{для всех} \, n$$ ### Шаг 3: Находим $$b_n$$ Теперь вычислим коэффициенты $$b_n$$: $$b_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} \frac{\pi - x}{2} \sin(nx) \, dx$$ Разделим интеграл: $$b_n = \frac{1}{\pi} \left( \frac{\pi}{2} \int_0^{2\pi} \sin(nx) \, dx - \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} x \sin(nx) \, dx \right)$$ Известно, что $$\int_0^{2\pi} \sin(nx) \, dx = 0$$, следовательно: $$b_n = -\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} x \sin(nx) \, dx$$ Этот интеграл можно вычислить по частям, и результат будет: $$b_n = \frac{2}{n}$$ ### Итоговое разложение в ряд Фурье Таким образом, функция $$f(x) = \frac{\pi - x}{2}$$ на интервале $$[0, 2\pi]$$ разлагается в ряд Фурье следующим образом: $$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n} \sin(nx)$$ Если у вас возникнут дополнительные вопросы или пожелания, уточните!

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Fourier Series
Integration
Trigonometric Functions

Formulas

Fourier series formula: f(x) = a0/2 + Σ (an cos(nx) + bn sin(nx))
a0 = (1/π) * ∫(0 to 2π) f(x) dx
an = (1/π) * ∫(0 to 2π) f(x) cos(nx) dx
bn = (1/π) * ∫(0 to 2π) f(x) sin(nx) dx

Theorems

Fourier Series Decomposition
Integration by Parts

Suitable Grade Level

University (Advanced Calculus/Analysis)