Θα λύσουμε την άσκηση βήμα-βήμα, καλύπτοντας το κάθε σκέλος αναλυτικά και κατανοητά. Ας ξεκινήσουμε από το πρώτο σκέλος.

---

Άσκηση 1 – Ανάλυση

Δίνεται: Έστω ένα πραγματικό περιοδικό σήμα $x(t)$ με περίοδο $T$ και μιγαδικούς συντελεστές $C_n$ της σειράς Fourier του.

Η σειρά Fourier ενός περιοδικού σήματος $x(t)$ περιγράφεται από:

$x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n e^{j \frac{2\pi n}{T} t}$

όπου $C_n$ είναι οι μιγαδικοί συντελεστές Fourier και μπορούν να υπολογιστούν από:

$C_n = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} x(t) e^{-j \frac{2\pi n}{T} t} \, dt$

Υποερώτημα (i)

Να δείξουμε ότι το σήμα είναι περιοδικό.

Αφού έχουμε ήδη την αναπαράσταση Fourier του $x(t)$, γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση $x(t)$ είναι περιοδική με περίοδο $T$ λόγω της ιδιότητας της σειράς Fourier να αναπαριστά περιοδικές συναρτήσεις. Συνεπώς, το σήμα $x(t)$ επαναλαμβάνεται κάθε $T$ και άρα είναι περιοδικό.

Υποερώτημα (ii)

Ποια είναι η σχέση που υφίσταται μεταξύ των συντελεστών $C_n$ και $C_{-n}$;

Επειδή το σήμα $x(t)$ είναι πραγματικό, ισχύει η εξής ιδιότητα για τους συντελεστές Fourier:

$C_{-n} = \overline{C_n}$

όπου $\overline{C_n}$ είναι ο συζυγής του $C_n$. Αυτό σημαίνει ότι οι συντελεστές Fourier του πραγματικού σήματος έχουν συμμετρική δομή στους θετικούς και αρνητικούς όρους τους. Επίσης, για τους πραγματικούς συντελεστές ισχύει ότι:

$C_0 \in \mathbb{R}$

δηλαδή, ο συντελεστής της μηδενικής συχνότητας είναι πραγματικός αριθμός.

Υποερώτημα (iii)

Δείξτε ότι αν το $n$ είναι άρτιος, τότε ο συντελεστής $C_n$ είναι πραγματικός αριθμός.

Για να δείξουμε ότι ο συντελεστής $C_n$ είναι πραγματικός όταν $n$ είναι άρτιος, μπορούμε να εξετάσουμε τη δομή των αρμονικών της σειράς Fourier. Αν $x(t)$ είναι ένα συμμετρικό, άρτιο σήμα, τότε οι συντελεστές $C_n$ για περιττές τιμές του $n$ θα είναι μηδέν, και οι άρτιοι συντελεστές θα είναι πραγματικοί.

Υποερώτημα (iv)

Να δείξουμε ότι το σήμα μπορεί να εκφραστεί ως (πεπερασμένη) τριγωνομετρική σειρά Fourier υπό τη μορφή:

$x(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{N} \left( a_n \cos \frac{2 \pi n t}{T} + b_n \sin \frac{2 \pi n t}{T} \right)$

Όταν $x(t)$ είναι πραγματικό, μπορούμε να αναδιατάξουμε τη σειρά Fourier και να την εκφράσουμε ως άθροισμα συνημιτόνων και ημιτόνων, με τους όρους:

• $a_0 = C_0$
• $a_n = 2 \operatorname{Re}(C_n)$
• $b_n = -2 \operatorname{Im}(C_n)$

Αυτή η μορφή είναι μια πεπερασμένη τριγωνομετρική σειρά Fourier που εκφράζει το πραγματικό περιοδικό σήμα ως άθροισμα ημιτονικών και συνημιτονικών όρων.

---

Θέλετε να δώσω περισσότερες λεπτομέρειες σε κάποιο συγκεκριμένο σημείο;

Σχετικές Ερωτήσεις

1. Πώς θα εξηγήσουμε τη συμμετρία των συντελεστών Fourier για ένα πραγματικό σήμα;
2. Τι ρόλο παίζει η περίοδος $T$ στη διαμόρφωση της σειράς Fourier;
3. Πώς μπορούμε να ελέγξουμε αν ένα σήμα είναι άρτιο ή περιττό;
4. Ποιες είναι οι συνθήκες για τη σύγκλιση μιας σειράς Fourier σε ένα σημείο;
5. Πώς θα υπολογίσουμε τους συντελεστές Fourier αν το $x(t)$ είναι ένα συγκεκριμένο γνωστό σήμα;

Συμβουλή

Οι τριγωνομετρικοί όροι στη σειρά Fourier επιτρέπουν να αναπαριστούμε πραγματικά σήματα με συχνότητες και φάσεις, κάτι που είναι πολύ χρήσιμο στη μηχανική και στη φυσική ανάλυση σημάτων.