مسئله

تابع $f(x)$ به صورت زیر داده شده است:

$f(x) = e^{-x} + e^{-2x}, \quad x > 0$

باید $f(x)$ را به صورت یک انتگرال فوریه به فرم زیر بازنویسی کنیم:

$f(x) = \int_{0}^{\infty} A(w) \cos(wx) \, dw$

که $A(w)$ با استفاده از فرمول زیر داده شده است:

$A(w) = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\infty} f(x) \cos(wx) \, dx$

مرحله اول: محاسبه $A(w)$

ابتدا $A(w)$ را محاسبه می‌کنیم. با توجه به اینکه $f(x) = e^{-x} + e^{-2x}$، داریم:

$A(w) = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\infty} \left( e^{-x} + e^{-2x} \right) \cos(wx) \, dx$

انتگرال را به دو بخش تقسیم می‌کنیم:

$A(w) = \frac{2}{\pi} \left( \int_{0}^{\infty} e^{-x} \cos(wx) \, dx + \int_{0}^{\infty} e^{-2x} \cos(wx) \, dx \right)$

انتگرال اول: $\int_{0}^{\infty} e^{-x} \cos(wx) \, dx$

برای محاسبه این انتگرال، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم (یک نتیجه استاندارد برای تبدیل فوریه):

$\int_{0}^{\infty} e^{-ax} \cos(wx) \, dx = \frac{a}{a^2 + w^2}, \quad \text{برای } a > 0$

اینجا $a = 1$، پس:

$\int_{0}^{\infty} e^{-x} \cos(wx) \, dx = \frac{1}{1^2 + w^2} = \frac{1}{1 + w^2}$

انتگرال دوم: $\int_{0}^{\infty} e^{-2x} \cos(wx) \, dx$

برای این انتگرال نیز از همان فرمول استفاده می‌کنیم. این بار $a = 2$، بنابراین:

$\int_{0}^{\infty} e^{-2x} \cos(wx) \, dx = \frac{2}{2^2 + w^2} = \frac{2}{4 + w^2}$

جمع‌بندی $A(w)$

حال، $A(w)$ به صورت زیر نوشته می‌شود:

$A(w) = \frac{2}{\pi} \left( \frac{1}{1 + w^2} + \frac{2}{4 + w^2} \right)$

مرحله دوم: بازنویسی $f(x)$ با استفاده از $A(w)$

اکنون که $A(w)$ محاسبه شد، می‌توانیم $f(x)$ را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

$f(x) = \int_{0}^{\infty} A(w) \cos(wx) \, dw$

و $A(w)$ به صورت زیر است:

$A(w) = \frac{2}{\pi} \left( \frac{1}{1 + w^2} + \frac{2}{4 + w^2} \right)$

بنابراین، $f(x)$ به فرم انتگرال فوریه نوشته می‌شود.

توضیح ساده برای دانشجویان

1. هدف: بازنویسی تابع $f(x)$ با استفاده از فرمول انتگرال فوریه.
2. قدم اول: ابتدا $A(w)$ را محاسبه کردیم. این به ما گفت که چه مقدار از هر فرکانس $w$ در تابع وجود دارد.
3. فرمول‌ها: از فرمول استاندارد برای انتگرال $\int_{0}^{\infty} e^{-ax} \cos(wx) \, dx$ استفاده کردیم.
4. نتیجه: تابع $f(x)$ به صورت ترکیب فرکانس‌های مختلف بازنویسی شد.

سوالات مرتبط

1. اگر به جای $e^{-x}$، تابع دیگری داده شود (مانند $e^{-3x}$)، چگونه $A(w)$ تغییر می‌کند؟
2. چرا از انتگرال فوریه برای بازنویسی این تابع استفاده می‌کنیم؟
3. آیا می‌توان این محاسبات را برای مقادیر عددی خاص $w$ بررسی کرد؟
4. اگر تابع شامل سینوس نیز بود (مانند $\sin(wx)$)، نتیجه چگونه تغییر می‌کرد؟
5. چه کاربردی برای این تبدیل فوریه در فیزیک یا مهندسی وجود دارد؟

نکته: استفاده از فرمول‌های استاندارد برای انتگرال‌ها، محاسبات را ساده و سریع‌تر می‌کند.